Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, sucht man nach Werten für die Variable \( x \), für die die Funktion den Wert Null annimmt. Hierbei gibt es zahlreiche verschieden Möglichkeiten vorzugehen. Einige können kombiniert werden:
Grafische Methoden: Manchmal kann es hilfreich sein, eine grobe Skizze des Polynoms zu machen, um zu sehen, wo es die x-Achse schneidet, was Hinweise auf die Nullstellen gibt. Die Funktion kann auch mit dem CAS gezeichnet werden.
pq-Formel
Die \( pq \)-Formel ist eine vereinfachte Version der quadratischen Lösungsformel für Polynome der Form \( x^2 + px + q = 0 \). In diesem Fall sind die Nullstellen gegeben durch:
\[ x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \]
abc-Formel: Für Polynome bis zum Grad 2, also quadratische Polynome, verwende die quadratische Formel:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
um die Nullstellen zu finden, wobei \( a \), \( b \), und \( c \) die Koeffizienten des quadratischen Polynoms \( ax^2 + bx + c \) sind.
Polynom vereinfachen: Falls möglich, vereinfache das Polynom durch Ausklammern oder andere algebraische Methoden. (dann s.5.)
Nullproduktsatz:
Falls das Polynom vollständig in Faktoren zerlegt werden kann (oft mithilfe 4.), dann setze jeden Faktor gleich Null, um alle Nullstellen zu erhalten.
Nullstellenform:
In der Nullstellenform können die Nullstellen direkt abgelesen werden.
analytisch oder numerisch durch den Taschenrechner: z.B. mit einem Befehl wie zero() oder solve()
