Kursthemen

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  • 10) eA-Vergleich Normal- und Binomialverteilung

    • Die Binomialverteilung und die Normalverteilung sind zwei grundlegende Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die in verschiedenen statistischen Kontexten verwendet werden. Sie haben jeweils ihre eigenen Anwendungen und Eigenschaften.

      Binomialverteilung:

      • Diskret: Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung. Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von unabhängigen Bernoulli-Versuchen (Versuche, die nur zwei mögliche Ergebnisse haben: Erfolg oder Misserfolg).

      • Parameter: Sie wird durch zwei Parameter beschrieben: die Anzahl der Versuche n und die Wahrscheinlichkeitpp für den Erfolg bei einem einzelnen Versuch.

      Normalverteilung:

      • Stetig: Im Gegensatz dazu ist die Normalverteilung eine stetige Verteilung. Sie wird als gaußsche Glockenkurve bezeichnet und ist symmetrisch um den Mittelwert.

      • Parameter: Die Parameter sind der Mittelwert μ und die Standardabweichung σ. Diese definieren die Lage und die Breite der Kurve.

      • Funktion: Die Dichtefunktion der Normalverteilung beschreibt die Dichte von Wahrscheinlichkeitsmassen entlang der reellen Zahlen. $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

    • Berechnung durch Nährung

      Wenn n groß genug ist und p nicht zu nahe an 0 oder 1 liegt, kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung angenähert werden. In diesem Fall sind der Erwartungswert μ=np und die Standardabweichung σ=np(1−p).

      Die soll als guten Nährung gelten wenn σ>3.

      Ein Prognoseintervall (z.B. 95%) kann dann mit der Normalverteilung berechnet werden:

      Untere Grenze=μ−1,96⋅σ

      Obere Grenze=μ+1,96⋅σ

      Beispiel:

      Angenommen, Sie führen eine Umfrage durch, bei der 1000 Personen gefragt werden, ob sie ein bestimmtes Produkt mögen, und 600 sagen "Ja". Die beobachtete Erfolgswahrscheinlichkeit ist p=0,6. Das 95%-Prognoseintervall für den Anteil der Gesamtpopulation, der das Produkt mag, kann dann unter Verwendung der oben beschriebenen Formeln berechnet werden.

      Es ist zu beachten, dass das Prognoseintervall nicht immer perfekt ist.

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