Kursthemen

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    • diskreten und stetigen Zufallsgrößen

      In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik unterscheiden wir zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen.

      Der Hauptunterschied liegt in der Art der Werte, die sie annehmen können:

      Diskrete Zufallsgrößen:

      • Nehmen Werte aus einem abzählbaren Wertebereich an. Dieser Bereich kann endlich oder unendlich sein, wie zum Beispiel die Menge der ganzen Zahlen.

      • Jeder Wert hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit.

      • Typische Beispiele sind der Wurf eines Würfels (wo die Zufallsvariable die Augenzahl von 1 bis 6 annehmen kann) oder die Anzahl der Erfolge in einer Serie von Bernoulli-Experimenten (wie bei der Binomialverteilung).

      Stetige Zufallsgrößen:

      • Können jeden Wert innerhalb eines Intervalls von Zahlen annehmen. Dieses Intervall kann begrenzt oder unbegrenzt sein.

      • Da es überabzählbar viele Werte in jedem noch so kleinen Intervall gibt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable genau einen spezifischen Wert annimmt, für gewöhnlich Null.

      • Stattdessen betrachtet man die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable innerhalb eines bestimmten Intervalls liegt. Diese Wahrscheinlichkeiten werden durch Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion über dieses Intervall bestimmt.

      • Ein klassisches Beispiel für eine stetige Zufallsvariable ist die Messung der Körpergröße von erwachsenen Menschen.

    • Dichtefunktion

      Eine Dichtefunktion, oft auch Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion genannt, wird für stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen genutzt. Im Gegensatz zu diskreten Verteilungen, bei denen jedem möglichen Wert eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zugewiesen wird, ordnet eine Dichtefunktion einem bestimmten Wert nicht direkt eine Wahrscheinlichkeit zu. Stattdessen beschreibt die Dichtefunktion, wie die Wahrscheinlichkeitsmasse über einen Bereich von Werten verteilt ist.

      Für jede Dichtefunktion gilt:

      • Nicht-Negativität: Die Dichtefunktion ist immer größer oder gleich Null $$f(x) \geq 0$$

      • Wahrscheinlichkeit eines Intervalls: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X zwischen zwei Werten a und b liegt, ist gleich dem Bereich unter der Dichtefunktion von a bis b. $$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) , dx$$

      • Gesamtfläche von 1: Die gesamte Fläche unter der Dichtefunktion über alle möglichen Werte von X ist gleich 1, da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gleich 1 sein muss: $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) , dx = 1$$

      • Wahrscheinlichkeiten für einzelne Punkte: In stetigen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable genau einen bestimmten Wert annimmt, immer 0. Das heißt: $$P(X=a)=0$$

    • Normalverteilung

      Die bekannteste Dichtefunktion ist die der Normalverteilung. Sie ist symmetrisch um ihren Mittelwert μ und wird charakterisiert durch die Gaußsche Glockenkurve, die abhängig von ihrer Standardabweichung σ breiter oder schmaler ist.

      Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist definiert durch die Formel: $$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$

      Hierbei ist e die Basis des natürlichen Logarithmus, μ der Mittelwert und σ die Standardabweichung.

    • Die Normalverteilungen

    • Die zentralen Eigenschaften der Normalverteilung sind:

      • Mittelwert (µ): Der Mittelwert ist der Durchschnitt aller möglichen Werte, die eine Zufallsvariable annehmen kann, gewichtet mit ihrer Wahrscheinlichkeit. In der Normalverteilung liegt der Mittelwert dort, wo die Glockenkurve ihr Maximum hat.

      • Standardabweichung (σ): Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie stark die Werte im Vergleich zum Mittelwert streuen. In der Normalverteilung gibt die Standardabweichung die Breite der Glockenkurve an. Je größer die Standardabweichung, desto flacher und breiter ist die Kurve.

      • Symmetrie: Die Normalverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert, die Hälfte der Werte liegt links und die andere Hälfte rechts vom Mittelwert.

      • Kontinuierlich: Im Gegensatz zur Binomialverteilung, die diskret ist, ist die Normalverteilung kontinuierlich, was bedeutet, dass sie jeden Wert innerhalb eines Intervalls annehmen kann.

      Die Normalverteilung wird in vielen natürlichen und sozialwissenschaftlichen Anwendungen verwendet, weil sie eine gute Näherung für viele natürliche Phänomene biete.

      Die Normalverteilung kann als eine Art Grenzfall der Binomialverteilung betrachtet werden, der auftritt, wenn die Anzahl der Versuche n in einer binomialverteilten Zufallsvariable sehr groß wird, während die Wahrscheinlichkeit p eines Erfolges bei jedem Versuch so beschaffen ist, dass das Produkt np und n(1−p) groß sind. Unter diesen Bedingungen nähert sich die Form der Binomialverteilung immer mehr der Glockenkurve der Normalverteilung an. Dies ist bekannt als der Zentrale Grenzwertsatz.

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