Symmetrie zur y-Achse (Achsensymmetrie)
Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle ( x ) im Definitionsbereich der Funktion gilt: ( f(x) = f(-x) ). Das bedeutet, dass der Funktionswert an der Stelle ( x ) gleich dem Funktionswert an der Stelle ( -x ) ist.
Allgemeine Untersuchung:
Um zu überprüfen, ob eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, ersetzt man ( x ) durch ( -x ) und untersucht, ob die resultierende Funktion äquivalent zu der ursprünglichen Funktion ist.
Bei Polynomen:
Ein Polynom ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn alle Potenzen von ( x ) gerade sind. Das bedeutet, dass jede Potenz von ( x ) in der Form ( x^{2n} ) vorliegt, wobei ( n ) eine ganze Zahl ist.
Symmetrie zum Ursprung (Punktsymmetrie)
Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle ( x ) im Definitionsbereich der Funktion gilt: ( f(-x) = -f(x) ). Das bedeutet, dass der Funktionswert an der Stelle ( -x ) das Negativ des Funktionswertes an der Stelle ( x ) ist.
Allgemeine Untersuchung:
Um zu überprüfen, ob eine Funktion punktsymmetrisch ist, ersetzt man ( x ) durch ( -x ) und überprüft, ob die resultierende Funktion äquivalent zu dem Negativ der ursprünglichen Funktion ist.
Bei Polynomen:
Ein Polynom ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn alle Potenzen von ( x ) ungerade sind. Das bedeutet, dass jede Potenz von ( x ) in der Form ( x^{2n+1} ) vorliegt, wobei ( n ) eine ganze Zahl ist.
Beispiel:
Betrachten wir das Polynom ( f(x) = x^3 - x ).
- Achsensymmetrie: ( f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x ) ist nicht gleich ( f(x) ), also ist das Polynom nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Punktsymmetrie: ( f(-x) = -x^3 + x ) ist das Negativ von ( f(x) ), also ist das Polynom punktsymmetrisch zum Ursprung.
Wichtig zu beachten:
- Nicht jede Funktion muss eine Symmetrie aufweisen.
- Es kann weitere Symmetrien zu anderen Punkten oder Achsen geben.