Das Globalverhalten einer Funktion beschreibt das Verhalten der Funktionswerte für sehr große positive und sehr große negative \( x \)-Werte, also das Verhalten im Unendlichen. Es gibt uns Aufschluss darüber, ob die Funktion gegen einen bestimmten Wert strebt, ob sie unbeschränkt wächst oder fällt, oder ob sie sich periodisch verhält. Hier ist eine Anleitung zur Untersuchung des Globalverhaltens, insbesondere für Polynome:
Polynome
Das Globalverhalten von Polynomfunktionen wird hauptsächlich durch den Term mit der höchsten Potenz bestimmt, da dieser Term für sehr große oder sehr kleine \( x \)-Werte dominierend wird.
Bestimme den führenden Term: Schau dir den Term mit der höchsten Potenz an, den sogenannten führenden Term des Polynoms, \( ax^n \).
Überprüfe den Grad des Polynoms (\( n \)) und den führenden Koeffizienten (\( a \)):
- Wenn \( n \) gerade ist, nähert sich das Polynom für \( x \rightarrow \infty \) und \( x \rightarrow -\infty \) entweder beiden in Richtung \( +\infty \) (wenn \( a > 0 \)) oder \( -\infty \) (wenn \( a < 0 \)).
- Wenn \( n \) ungerade ist, geht das Polynom für \( x \rightarrow \infty \) in Richtung \( +\infty \), wenn \( a > 0 \), und in Richtung \( -\infty \), wenn \( a < 0 \). Für \( x \rightarrow -\infty \) ist es genau umgekehrt.
Trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen wie \( \sin(x) \) und \( \cos(x) \) sind periodisch und haben kein Globalverhalten im eigentlichen Sinne; sie schwanken ständig zwischen ihren Maximal- und Minimalwerten.
Exponentielle Funktionen
Exponentielle Funktionen wachsen oder fallen sehr schnell, je nachdem, ob die Basis größer oder kleiner als 1 ist.
Logarithmische Funktionen
Logarithmische Funktionen nähern sich langsam unendlich an, wenn \( x \) gegen unendlich strebt, und sie sind nicht definiert für \( x \leq 0 \).
Beispiele
Für das Polynom \( f(x) = 2x^3 - 5x^2 + x - 1 \) bestimmt der Term \( 2x^3 \) das Globalverhalten: Die Funktion strebt gegen \( \infty \), wenn \( x \rightarrow \infty \), und gegen \( -\infty \), wenn \( x \rightarrow -\infty \), da der Grad ungerade ist und der führende Koeffizient positiv ist.
Bei einer Funktion wie \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) nähert sich der Wert der Funktion der 0 an, wenn \( x \) gegen \( \infty \) oder \( -\infty \) strebt, da der Grad im Nenner höher ist als im Zähler.