Der Binomialkoeffizient ausgesprochen als "n über k" und dargestellt als
\(\binom{n}{k}\)
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, wie man k Elemente aus einer Menge von n Elementen ohne Rücklegung und ohne Beachtung der Reihenfolge auswählen kann.
Er wird mathematisch so definiert:
\(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n−k)!}\)
Dabei steht ! für die Fakultät, eine Funktion, die das Produkt aller positiven Ganzzahlen bis zu dieser Zahl berechnet. Zum Beispiel ist
\(5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\).
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Bücher aus einem Regal von 5 Büchern auszuwählen?
\(\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}=10\)
Also gibt es 10 verschiedene Möglichkeiten, 2 Bücher aus 5 auszuwählen.
Der Binomialkoeffizient hat seinen Namen von den Binomialentwicklungen. Wenn man beispielsweise \((a+b)^n\) ausmultipliziert, gibt der Koeffizient vor den einzelnen Termen an, wie oft jeder Term in der Summe vorkommt. Dies ist eng mit dem sogenannten Pascalschen Dreieck verbunden, in dem jede Zahl die Summe der zwei Zahlen direkt über ihr ist. Die Reihen dieses Dreiecks stellen die Koeffizienten der Binomialentwicklung dar.
