Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festgelegten Anzahl von unabhängigen und gleichartigen Versuchen. Diese Verteilung ist besonders relevant, wenn es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt, oft als "Erfolg" und "Misserfolg" bezeichnet.
Voraussetzungen für die Binomialverteilung:
- Es gibt eine feste Anzahl n von Versuchen.
- Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ergebnisse: z.B. Erfolg oder Misserfolg.
- Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg, p, ist in jedem Versuch gleich.
- Die Versuche sind unabhängig voneinander.
Formel:
Die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge in n Versuchen zu erzielen, wird durch die folgende Formel gegeben:
\(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)
Dabei ist:
- \(\binom{n}{k} \) der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, k Erfolge aus n Versuchen auszuwählen.
- \(p\) ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs.
- \(1−p_1\) ist die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs.
Anwendung:
Ein klassisches Beispiel für die Binomialverteilung ist das Werfen einer Münze. Wenn man eine faire Münze n Mal wirft, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie k Mal Kopf zeigt (wobei p=0,5 für Kopf), durch die Binomialverteilung gegeben.
