Abschnittsübersicht

    • Die Normalenform einer Ebene beschreibt die Ebene durch

      • einen Normalenvektor \(\vec{n}\)
      • und einen Verbindungsvektor \(\vec{s}-\vec{x}\)

        Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.

      Er kann aus dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren \(\vec{n}=\vec{r_1} \times\vec{r_2}\) bestimmt werden.

      Der Verbindungsvektor ist die Differenz aus

      • dem Stützvektor \(\vec{s}\) und
      • dem Vektor \(\vec{x}\) der vom Ursprung zu einem Punkt der Ebene zeigt

        \(E: \vec{n}\cdot (\vec{s}-\vec{x})=0\)

        \(E: n_1\cdot s_1+n_2\cdot s_2+n_3\cdot s_3=n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3\)

      Da der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht und der Verbindungsvektor in der Ebene liegt, sind beide senkrecht zueinander.

      Daher ist das Skalarprodukt aus beiden 0.

      Beispiel:

      \(E: 5=2\cdot x_1+2\cdot x_2-1\cdot x_3\)

    • In der Koordinatenform wird die Ebene in durch:

      \(E: ax+by+cz=d\)

      dargestellte.

      Hierbei ist der Vektor

      \(\vec{n}=\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right)\)

      ein Normalenvektor der Ebene.

      d kann mit \(d=\vec{n}\cdot \vec{s}\) bestimmt werden