Die h-Methode, oft auch als Differenzenquotientenmethode bezeichnet, ist ein Verfahren zur Berechnung der Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Sie basiert auf dem Konzept des Grenzwerts des durchschnittlichen Änderungsrates, wenn das Intervall \( h \) gegen 0 geht. Um die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^2 + 4 \) an einem beliebigen Punkt \( x \) zu finden, wendet man die folgenden Schritte an:
- Funktionswert an der Stelle \( x \): Man berechnet \( f(x) \), was in unserem Fall \( x^2 + 4 \) ergibt.
- Funktionswert an der Stelle \( x + h \): Man berechnet \( f(x + h) \), was in unserem Fall \( (x + h)^2 + 4 \) ergibt.
- Berechne die Differenz: Die Differenz \( f(x + h) - f(x) \) gibt die Veränderung der Funktionswerte zwischen den beiden Punkten \( x \) und \( x + h \) an.
- Bilde den Differenzenquotienten: Man setzt die Differenz in den Differenzenquotienten \( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \) ein.
- Grenzwert für \( h \) gegen 0: Die Ableitung \( f'(x) \) ist der Grenzwert dieses Quotienten, wenn \( h \) gegen 0 strebt.
Für unser Beispiel \( f(x) = x^2 + 4 \):
- \( f(x) = x^2 + 4 \)
- \( f(x + h) = (x + h)^2 + 4 = x^2 + 2xh + h^2 + 4 \)
- \( f(x + h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 + 4) - (x^2 + 4) \)
- \( f(x + h) - f(x) = 2xh + h^2 \)
- \( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \)
Nun nehmen wir den Grenzwert, wenn \( h \) gegen 0 strebt:
\[ \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x \]
Die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^2 + 4 \) ist also \( f'(x) = 2x \). Dies bedeutet, dass die lokale Änderungsrate der Funktion \( f(x) \) bei einem beliebigen Wert \( x \) gleich \( 2x \) ist.