Die ersten drei Ableitungen einer Funktion
Zu Beginn der Funktionsuntersuchung sind die Funktion und Ihre drei Ableitungen anzugeben:
Beispiel:
- \( f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x \)
- \( f'(x) = 12x^3 - 4x + 1 \)
- \( f''(x) = 36x^2 - 4 \)
- \( f'''(x) = 72x \)
Die erste Ableitung
Die erste Ableitung gibt die Steigung der Tangente an die Kurve der Funktion ( f(x) ) an jedem Punkt an. Um diese zu finden, verwenden wir die Ableitungsregeln, wie die Potenzregel, die Summenregel und die Faktorregel:
- Potenzregel: \( f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1} \)
- Summenregel: \((f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\)
- Faktorregel: \( a\cdot f(x)= a\cdot f'(x)\)
Die zweite Ableitung
Die zweite Ableitung misst die Krümmung der Funktion oder wie die Steigung sich ändert. Um die zweite Ableitung zu finden, differenzieren wir die erste Ableitung:
Die dritte Ableitung
Die dritte Ableitung kann interpretiert werden als die Änderungsrate der Krümmung. Um sie zu berechnen, differenzieren wir die zweite Ableitung:
Zusammenfassung
Jede Ableitung gibt uns eine tiefere Einsicht in das Verhalten der Funktion. Während die erste Ableitung die Steigung angibt, zeigt die zweite, ob die Funktion konkav oder konvex ist (nach oben oder unten geöffnet), und die dritte Ableitung gibt uns Informationen darüber, wie sich die Krümmung verändert.