Extrempunkte sind die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion. Ein Hochpunkt ist ein Punkt, an dem die Funktion von einem Anstieg in ein Gefälle übergeht (lokales Maximum), und ein Tiefpunkt ist ein Punkt, an dem die Funktion von einem Gefälle in einen Anstieg übergeht (lokales Minimum).
Sie können wie folgt gefunden werden:
Erste Ableitung bilden \( f'(x) \):
Berechne die erste Ableitung der Funktion \( f(x) \), um die Steigungen an verschiedenen Punkten zu ermitteln.
Erste Ableitung gleich Null setzen \( f'(x) = 0 \):
Bestimme die kritischen Punkte, indem du \( f'(x) = 0 \) setzt. Diese Punkte sind potenzielle Kandidaten für Extrema.
Zweite Ableitung betrachten \( f''(x) \):
Um sicherzugehen, kannst du die zweite Ableitung verwenden. Ist \( f''(x) \) positiv, liegt ein Minimum vor, ist sie negativ, ein Maximum. Bei \( f''(x) = 0 \) gibt die zweite Ableitung keine eindeutige Antwort, und man muss entweder das VZW oder höhere Ableitungen prüfen.
Vorzeichenwechsel-Kriterium (VZW) anwenden:
Überprüfe das Vorzeichen der ersten Ableitung \( f'(x) \) vor und nach jedem kritischen Punkt. Ein Vorzeichenwechsel von \( + \) nach \( - \) bedeutet ein lokales Maximum, ein Wechsel von \( - \) nach \( + \) ein lokales Minimum. Wenn es keinen Vorzeichenwechsel gibt, ist der Punkt kein Extrempunkt.
Punkt finden:
Der gefundene x-Wert ist in die Funktion einzusetzen, um den y-Wert zu erhalten. Beider Werte beschreiben gemeinsam den gesuchten Punkt.