1. Dreiecke und Ähnlichkeit

Eckpunkte:
- Werden mit Großbuchstaben benannt: $A$, $B$, $C$

Winkel:
- Werden mit griechischen Buchstaben benannt: $\alpha$ (Alpha), $\beta$ (Beta), $\gamma$ (Gamma)
- Winkel $\alpha$ liegt bei Ecke $A$

Winkelsumme im Dreieck:
$\alpha + \beta + \gamma = 180°$

Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn sie die gleiche Form haben, aber unterschiedlich groß sein können. Bei ähnlichen Dreiecken gilt:

- Alle entsprechenden Winkel sind gleich groß
- Die entsprechenden Seiten sind im gleichen Verhältnis zueinander (Streckungsfaktor)

Das Verhältnis der entsprechenden Seiten nennt man Streckungsfaktor k.

Wenn das Dreieck ABC ähnlich zum Dreieck A'B'C' ist (Notation: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$), dann gilt:

$\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k$

Dabei ist $k$ der Streckungsfaktor.

Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke und beschreibt den Zusammenhang zwischen den drei Seiten:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

$a^2 + b^2 = c^2$

Dabei sind:
- $a$ und $b$ die beiden Katheten (die Seiten, die den rechten Winkel einschließen)
- $c$ die Hypotenuse (die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel)

Umformungen:
- Hypotenuse berechnen: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
- Kathete berechnen: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ oder $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

In einem rechtwinkligen Dreieck können wir die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens verwenden, um Beziehungen zwischen Winkeln und Seitenlängen herzustellen.

Bezeichnungen am Dreieck

Für einen Winkel $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck benennen wir die Seiten:

- Hypotenuse ($c$): Die längste Seite (gegenüber dem rechten Winkel)
- Gegenkathete von $\alpha$: Die Seite gegenüber dem Winkel $\alpha$
- Ankathete von $\alpha$: Die Seite, die am Winkel $\alpha$ anliegt (aber nicht die Hypotenuse)

Definitionen

$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Merkhilfe: "Geh hin!" (Gegenkathete/Hypotenuse = Sinus)

Die Sätze über Dreiecke finden viele praktische Anwendungen:

- Vermessungstechnik: Entfernungen und Höhen bestimmen
- Navigation: Kurse und Distanzen berechnen
- Architektur: Dachneigungen, Treppen konstruieren
- Physik: Kräfte in verschiedene Richtungen zerlegen

Für allgemeine Dreiecke (nicht rechtwinklig) können wir den Sinussatz und Kosinussatz verwenden.

Sinussatz:
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Kosinussatz:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$

Diese Sätze erweitern unsere Möglichkeiten, Dreiecke zu berechnen, auf alle Dreieckstypen.

Umfang: $U = 2\pi r = \pi d$

Fläche: $A = \pi r^2$

Kreisausschnitt:
- Bogenlänge: $b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$
- Fläche: $A = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$

Dabei ist $r$ der Radius, $d$ der Durchmesser und $\alpha$ der Mittelpunktswinkel in Grad.

Ähnliche Dreiecke:
- Streckungsfaktor: $k = \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$

Satz des Pythagoras:
- $a^2 + b^2 = c^2$
- $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
- $a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Winkelfunktionen:
- $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
- $\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
- $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Umkehrfunktionen:
- $\alpha = \arcsin\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)$
- $\alpha = \arccos\left(\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)$
- $\alpha = \arctan\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\right)$

Sinussatz:
- $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

Kosinussatz:
- $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$

Kreisformeln:
- Umfang: $U = 2\pi r$
- Fläche: $A = \pi r^2$

Dieses Thema bringt nichts Neues. Die Zusammenfassung darüber sammelt die Formeln; hier geht es um die andere Frage — welche Formel wann dran ist und welcher der vier Bereiche bei dir schon sitzt.

Ablauf:

1. Runden-Training (W-Phase). Pro Runde bekommst du je eine Aufgabe aus vier Bereichen: Satz des Pythagoras, Sinus/Kosinus/Tangens, Sinussatz und Kosinussatz, Kreisberechnungen. Nach jeder Runde siehst du eine Prozent-Tabelle — eine Spalte pro Bereich. Schreib sie ab, sie verschwindet beim Umschalten.
2. Gezieltes Training (E-Phase). Ab der zweiten Runde darfst du umschalten. Dann werden dir deine drei schwächsten Bereiche angeboten; zwei davon kannst du als adaptive Aufgabenfolge trainieren: richtig → schwerer, falsch → leichter.
3. Kapitel-Mix. Wer durch ist, nimmt den Aufgabenpool darunter — dort liegen auch die Typen, die im Training nicht vorkommen: ähnliche Dreiecke, zentrische Streckung, Sachaufgaben und zusammengesetzte Figuren.

Über jeder Aufgabe steht ein Link zum passenden Thema. Wenn du nicht weiterweißt: erst dort nachlesen, dann zurück zur Aufgabe.

Bevor du anfängst: Tippe $\sin(30°)$ in deinen Taschenrechner. Kommt $0{,}5$ heraus, steht er richtig. Kommt etwas anderes heraus, steht er auf RAD — dann wird in dieser Stunde jede Winkelaufgabe falsch.

Die drei Sätze, die dieses Kapitel zusammenhalten:

- Such zuerst den rechten Winkel. Er entscheidet alles: Mit rechtem Winkel rechnest du mit Pythagoras oder mit Sinus, Kosinus und Tangens. Ohne rechten Winkel bleiben nur Sinussatz und Kosinussatz.
- Nur Seiten oder auch Winkel? Sind ausschließlich Seiten gegeben und ist eine Seite gesucht, reicht Pythagoras beziehungsweise der Kosinussatz. Sobald ein Winkel gegeben oder gesucht ist, brauchst du eine Winkelfunktion.
- Ähnliche Dreiecke sind der Grund, warum das überhaupt funktioniert. Sinus, Kosinus und Tangens hängen nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks — denn alle Dreiecke mit denselben Winkeln sind ähnlich und haben deshalb dieselben Seitenverhältnisse.