Eckpunkte:
- Werden mit Großbuchstaben benannt: $A$, $B$, $C$
Winkel:
- Werden mit griechischen Buchstaben benannt: $\alpha$ (Alpha), $\beta$ (Beta), $\gamma$ (Gamma)
- Winkel $\alpha$ liegt bei Ecke $A$
Winkelsumme im Dreieck:
$\alpha + \beta + \gamma = 180°$
Höhe (h): Senkrechte von einer Ecke zur gegenüberliegenden Seite
Mittelsenkrechte: Senkrechte durch die Mitte einer Seite
Seitenhalbierende: Verbindung von Ecke zur Mitte der gegenüberliegenden Seite
Winkelhalbierende: Halbiert einen Winkel
Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn sie die gleiche Form haben, aber unterschiedlich groß sein können. Bei ähnlichen Dreiecken gilt:
- Alle entsprechenden Winkel sind gleich groß
- Die entsprechenden Seiten sind im gleichen Verhältnis zueinander (Streckungsfaktor)
Das Verhältnis der entsprechenden Seiten nennt man Streckungsfaktor k.
Wenn das Dreieck ABC ähnlich zum Dreieck A'B'C' ist (Notation: $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$), dann gilt:
$\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k$
Dabei ist $k$ der Streckungsfaktor.
- Das kleine Dreieck hat die Seitenlängen: $a = 3\,\text{cm}$, $b = 4\,\text{cm}$, $c = 5\,\text{cm}$
- Das große Dreieck hat die Seitenlängen: $a' = 6\,\text{cm}$, $b' = 8\,\text{cm}$, $c' = 10\,\text{cm}$
Prüfung: $\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2$ ✓
Die entsprechenden Winkel sind gleich groß.
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Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke und beschreibt den Zusammenhang zwischen den drei Seiten:
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.
$a^2 + b^2 = c^2$
Dabei sind:
- $a$ und $b$ die beiden Katheten (die Seiten, die den rechten Winkel einschließen)
- $c$ die Hypotenuse (die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel)
Umformungen:
- Hypotenuse berechnen: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
- Kathete berechnen: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ oder $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
Berechne die Hypotenuse $c$:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\text{cm}$
Beispiel 2: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse $c = 13\,\text{cm}$ und eine Kathete $a = 5\,\text{cm}$.
Berechne die andere Kathete $b$:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}$
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In einem rechtwinkligen Dreieck können wir die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens verwenden, um Beziehungen zwischen Winkeln und Seitenlängen herzustellen.
Für einen Winkel $\alpha$ im rechtwinkligen Dreieck benennen wir die Seiten:
- Hypotenuse ($c$): Die längste Seite (gegenüber dem rechten Winkel)
- Gegenkathete von $\alpha$: Die Seite gegenüber dem Winkel $\alpha$
- Ankathete von $\alpha$: Die Seite, die am Winkel $\alpha$ anliegt (aber nicht die Hypotenuse)
$\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Merkhilfe: "Geh hin!" (Gegenkathete/Hypotenuse = Sinus)
Berechne $a$:
$\sin(30°) = \frac{a}{10}$
$a = 10 \cdot \sin(30°) = 10 \cdot 0{,}5 = 5\,\text{cm}$
Beispiel 2: Gegeben: Gegenkathete $a = 6\,\text{cm}$, Ankathete $b = 8\,\text{cm}$. Berechne $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{6}{8} = 0{,}75$
$\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87°$
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Die Sätze über Dreiecke finden viele praktische Anwendungen:
- Vermessungstechnik: Entfernungen und Höhen bestimmen
- Navigation: Kurse und Distanzen berechnen
- Architektur: Dachneigungen, Treppen konstruieren
- Physik: Kräfte in verschiedene Richtungen zerlegen
Von einem Punkt aus wird ein Leuchtturm unter einem Höhenwinkel von $25°$ gesehen. Der Abstand zum Fuß des Leuchtturms beträgt $100\,\text{m}$. Wie hoch ist der Leuchtturm?
Lösung:
Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck:
- Ankathete (Abstand): $100\,\text{m}$
- Gegenkathete (Höhe): $h = ?$
- Winkel: $\alpha = 25°$
$\tan(25°) = \frac{h}{100}$
$h = 100 \cdot \tan(25°) \approx 100 \cdot 0{,}466 = 46{,}6\,\text{m}$
Der Leuchtturm ist etwa $46{,}6\,\text{m}$ hoch.
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Für allgemeine Dreiecke (nicht rechtwinklig) können wir den Sinussatz und Kosinussatz verwenden.
Sinussatz:
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$
Kosinussatz:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$
Diese Sätze erweitern unsere Möglichkeiten, Dreiecke zu berechnen, auf alle Dreieckstypen.
Gegeben: $a = 5\,\text{cm}$, $\alpha = 30°$, $\beta = 50°$
Gesucht: $b = ?$
$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$
$b = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} = \frac{5 \cdot \sin(50°)}{\sin(30°)} \approx 7{,}66\,\text{cm}$
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Umfang: $U = 2\pi r = \pi d$
Fläche: $A = \pi r^2$
Kreisausschnitt:
- Bogenlänge: $b = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$
- Fläche: $A = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$
Dabei ist $r$ der Radius, $d$ der Durchmesser und $\alpha$ der Mittelpunktswinkel in Grad.
Ein Kreis hat den Radius $r = 5\,\text{cm}$.
Umfang: $U = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}42\,\text{cm}$
Fläche: $A = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78{,}54\,\text{cm}^2$
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Ähnliche Dreiecke:
- Streckungsfaktor: $k = \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$
Satz des Pythagoras:
- $a^2 + b^2 = c^2$
- $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
- $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
Winkelfunktionen:
- $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
- $\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
- $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Umkehrfunktionen:
- $\alpha = \arcsin\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)$
- $\alpha = \arccos\left(\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)$
- $\alpha = \arctan\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\right)$
Sinussatz:
- $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$
Kosinussatz:
- $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$
Kreisformeln:
- Umfang: $U = 2\pi r$
- Fläche: $A = \pi r^2$