Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung mehrstufiger Zufallsexperimente. Es zeigt alle möglichen Ergebnisse eines Experiments und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
- Jeder Knoten stellt ein mögliches Ergebnis dar
- Jeder Ast (Pfeil) stellt eine Möglichkeit dar und wird mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit beschriftet
- Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Knoten ausgehen, ergeben zusammen 1 (bzw. 100%)
1. Pfadregel (Produktregel):
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.
2. Pfadregel (Summenregel):
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addition der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.
Wir werfen eine faire Münze zweimal. Die möglichen Ergebnisse sind:
- 1. Wurf: Kopf (K) oder Zahl (Z) mit jeweils $P = 0{,}5$
- 2. Wurf: Kopf (K) oder Zahl (Z) mit jeweils $P = 0{,}5$
Baumdiagramm:
K (0,5) ──→ KK: 0,5 · 0,5 = 0,25
/
Start
\
Z (0,5) ──→ KZ: 0,5 · 0,5 = 0,25Von jedem der ersten Ergebnisse (K oder Z) gehen wieder zwei Äste aus (K oder Z).
Mögliche Ergebnisse:
- KK (zweimal Kopf): $P = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$
- KZ (erst Kopf, dann Zahl): $P = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$
- ZK (erst Zahl, dann Kopf): $P = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$
- ZZ (zweimal Zahl): $P = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$
Ereignis "Genau einmal Kopf": KZ oder ZK
$P = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5$
Eine Vierfeldertafel ist eine tabellarische Darstellung, die zwei Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen übersichtlich darstellt. Sie wird häufig in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet.
Eine Vierfeldertafel hat folgende Struktur:
| Merkmal B | nicht B | Summe | |
|---|---|---|---|
| Merkmal A | $n(A \cap B)$ | $n(A \cap \overline{B})$ | $n(A)$ |
| nicht A | $n(\overline{A} \cap B)$ | $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ | $n(\overline{A})$ |
| Summe | $n(B)$ | $n(\overline{B})$ | $n$ |
Dabei bedeutet:
- $n(A \cap B)$: Anzahl der Elemente, die sowohl Merkmal A als auch Merkmal B haben
- $n(A)$: Gesamtanzahl der Elemente mit Merkmal A
- $n$: Gesamtanzahl aller Elemente
- Absolute Häufigkeiten: Anzahl der Elemente (z.B. 20 Personen)
- Relative Häufigkeiten: Anteil bezogen auf Gesamtzahl (z.B. $\frac{20}{100} = 0{,}2 = 20\%$)
Vierfeldertafeln können mit absoluten oder relativen Häufigkeiten ausgefüllt werden.
- 18 Schüler tragen eine Brille (B)
- 12 Schüler tragen keine Brille ($\overline{B}$)
- Von den Brillenträgern sind 10 weiblich (W)
- Von den Nicht-Brillenträgern sind 7 weiblich (W)
Vierfeldertafel (absolut):
| Brille (B) | keine Brille ($\overline{B}$) | Summe | |
|---|---|---|---|
| weiblich (W) | 10 | 7 | 17 |
| männlich ($\overline{W}$) | 8 | 5 | 13 |
| Summe | 18 | 12 | 30 |
Vierfeldertafel (relativ):
| Brille (B) | keine Brille ($\overline{B}$) | Summe | |
|---|---|---|---|
| weiblich (W) | $\frac{10}{30} \approx 0{,}33$ | $\frac{7}{30} \approx 0{,}23$ | $\frac{17}{30} \approx 0{,}57$ |
| männlich ($\overline{W}$) | $\frac{8}{30} \approx 0{,}27$ | $\frac{5}{30} \approx 0{,}17$ | $\frac{13}{30} \approx 0{,}43$ |
| Summe | $\frac{18}{30} = 0{,}6$ | $\frac{12}{30} = 0{,}4$ | $1{,}0$ |
Die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis B ist, wenn bekannt ist, dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist.
Schreibweise: $P(B|A)$ (lies: "Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A")
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Dies bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, gegeben dass A eingetreten ist, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintreten, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von A.
Aus einer Vierfeldertafel können bedingte Wahrscheinlichkeiten abgelesen werden:
$P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person eine Brille trägt, wenn bekannt ist, dass sie weiblich ist?
$P(B|W) = \frac{n(W \cap B)}{n(W)} = \frac{10}{17} \approx 0{,}588 = 58{,}8\%$
Umgekehrt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person weiblich ist, wenn bekannt ist, dass sie eine Brille trägt?
$P(W|B) = \frac{n(W \cap B)}{n(B)} = \frac{10}{18} \approx 0{,}556 = 55{,}6\%$
Wichtig: $P(B|W) \neq P(W|B)$ im Allgemeinen!
Baumdiagramme und Vierfeldertafeln sind eng miteinander verbunden und können ineinander umgewandelt werden.
Ein zweistufiges Baumdiagramm lässt sich direkt in eine Vierfeldertafel überführen. Die vier Endergebnisse des Baumdiagramms entsprechen den vier inneren Feldern der Vierfeldertafel.
Aus einer Vierfeldertafel können die Wahrscheinlichkeiten für ein Baumdiagramm berechnet werden:
- 1. Stufe: Randwahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(\overline{A})$
- 2. Stufe: Bedingte Wahrscheinlichkeiten $P(B|A)$, $P(\overline{B}|A)$, $P(B|\overline{A})$, $P(\overline{B}|\overline{A})$
Gegeben ist ein Baumdiagramm:
- $P(A) = 0{,}6$, $P(\overline{A}) = 0{,}4$
- $P(B|A) = 0{,}7$, $P(\overline{B}|A) = 0{,}3$
- $P(B|\overline{A}) = 0{,}5$, $P(\overline{B}|\overline{A}) = 0{,}5$
Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeiten:
- $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}42$
- $P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}|A) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}18$
- $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}20$
- $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}|\overline{A}) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}20$
Vierfeldertafel:
| B | $\overline{B}$ | Summe | |
|---|---|---|---|
| A | 0,42 | 0,18 | 0,6 |
| $\overline{A}$ | 0,20 | 0,20 | 0,4 |
| Summe | 0,62 | 0,38 | 1,0 |
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Manchmal ist es notwendig, ein Baumdiagramm umzukehren, d.h. die Reihenfolge der Stufen zu vertauschen.
Problem: Gegeben sind $P(A)$, $P(B|A)$ und $P(B|\overline{A})$. Gesucht ist $P(A|B)$.
Der Satz von Bayes ermöglicht die Berechnung umgekehrter bedingter Wahrscheinlichkeiten:
$P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)}$
Dabei gilt: $P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})$ (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit)
Eingesetzt:
$P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})}$
- 1% der Bevölkerung hat eine bestimmte Krankheit (K)
- Der Test ist zu 95% korrekt, wenn die Krankheit vorliegt: $P(\text{positiv}|K) = 0{,}95$
- Der Test ist zu 90% korrekt, wenn keine Krankheit vorliegt: $P(\text{negativ}|\overline{K}) = 0{,}90$
Frage: Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person tatsächlich krank ist, wenn der Test positiv ist?
Gegeben:
- $P(K) = 0{,}01$, $P(\overline{K}) = 0{,}99$
- $P(\text{positiv}|K) = 0{,}95$
- $P(\text{positiv}|\overline{K}) = 0{,}10$ (Fehlerrate)
Gesucht: $P(K|\text{positiv})$
Lösung mit Satz von Bayes:
$P(K|\text{positiv}) = \frac{P(K) \cdot P(\text{positiv}|K)}{P(K) \cdot P(\text{positiv}|K) + P(\overline{K}) \cdot P(\text{positiv}|\overline{K})}$
$= \frac{0{,}01 \cdot 0{,}95}{0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}10} = \frac{0{,}0095}{0{,}0095 + 0{,}099} = \frac{0{,}0095}{0{,}1085} \approx 0{,}0876$
Ergebnis: Nur etwa 8,76% der positiv getesteten Personen sind tatsächlich krank!
Dies zeigt, wie wichtig es ist, bedingte Wahrscheinlichkeiten richtig zu interpretieren.
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Baumdiagramm:
- Pfadregel (Produkt): Wahrscheinlichkeiten multiplizieren
- Summenregel: Wahrscheinlichkeiten addieren
Vierfeldertafel:
- Übersichtliche Darstellung von zwei Merkmalen
- Absolute oder relative Häufigkeiten
- Randsummen bilden
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
- $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
- $P(B|A) \neq P(A|B)$ im Allgemeinen
Satz von Bayes:
- $P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)}$
- Ermöglicht Umkehrung bedingter Wahrscheinlichkeiten