1. Lineare Funktionen

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung: Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet.

Schreibweise: $f(x) = y$ oder $y = f(x)$

- $x$ heisst Argument (unabhaengige Variable)
- $y = f(x)$ heisst Funktionswert (abhaengige Variable)

Wichtig: Zu jedem x-Wert gehoert hoechstens ein y-Wert. Umgekehrt darf ein y-Wert aber mehreren x-Werten zugeordnet sein.

Eine proportionale Funktion hat die Form:

$f(x) = m \cdot x$

Der Graph geht immer durch den Ursprung $(0|0)$.

Die Steigung $m$:

Die Steigung beschreibt, wie steil eine Gerade verlaeuft. Man bestimmt sie mit dem Steigungsdreieck:

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

- $\Delta x$: Aenderung in x-Richtung (nach rechts)
- $\Delta y$: Aenderung in y-Richtung (nach oben oder unten)

Bedeutung von $m$:
- $m > 0$: Gerade steigt (von links nach rechts)
- $m < 0$: Gerade faellt (von links nach rechts)
- $m = 0$: Gerade ist horizontal
- $|m|$ gross: Gerade ist steil
- $|m|$ klein: Gerade ist flach

Eine lineare Funktion hat die allgemeine Form:

$f(x) = m \cdot x + b$

- $m$: Steigung (wie steil die Gerade ist)
- $b$: y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet)

Der y-Achsenabschnitt $b$ ist der Funktionswert an der Stelle $x = 0$:

$f(0) = m \cdot 0 + b = b$

Ablesen aus dem Graphen:
1. Lies ab, wo die Gerade die y-Achse schneidet $\Rightarrow b$
2. Zeichne ein Steigungsdreieck $\Rightarrow m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$
3. Stelle die Funktionsgleichung auf: $f(x) = mx + b$

Lineare Funktionen koennen auf drei verschiedene Arten dargestellt werden:

1. Gleichung: $f(x) = mx + b$
- Kompakte Schreibweise
- Steigung $m$ und y-Achsenabschnitt $b$ direkt ablesbar

2. Graph: Gerade im Koordinatensystem
- Visuell gut erfassbar
- Steigung und y-Achsenabschnitt geometrisch ablesbar

3. Wertetabelle: Zuordnung von x- und y-Werten
- Gut fuer Berechnungen
- Steigung aus Differenzen berechenbar

Jede Darstellung enthaelt die gleiche Information, betont aber unterschiedliche Aspekte.

Die Nullstelle $x_0$ einer linearen Funktion ist die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet, also wo $f(x) = 0$ gilt.

Berechnung:

$f(x) = 0$
$mx + b = 0$
$mx = -b$
$x_0 = -\frac{b}{m}$

Voraussetzung: $m \neq 0$ (sonst ist $f(x) = b$ eine konstante Funktion)

Bedeutung: Am Punkt $(x_0|0)$ wechselt die Funktion ihr Vorzeichen (von positiv zu negativ oder umgekehrt).

Zwei lineare Funktionen $f(x) = m_1 x + b_1$ und $g(x) = m_2 x + b_2$ schneiden sich in einem Punkt, wenn sie verschiedene Steigungen haben ($m_1 \neq m_2$).

Berechnung mit dem Gleichsetzungsverfahren:

1. Gleichsetzen: $f(x) = g(x)$
2. $m_1 x + b_1 = m_2 x + b_2$
3. Nach $x$ aufloesen: $x_S = \frac{b_2 - b_1}{m_1 - m_2}$
4. $y_S$ berechnen: $y_S = f(x_S)$ oder $y_S = g(x_S)$
5. Schnittpunkt: $S(x_S | y_S)$

Beim Gleichsetzungsverfahren koennen drei Faelle auftreten:

Fall 1: Genau ein Schnittpunkt ($m_1 \neq m_2$)
- Die Geraden haben verschiedene Steigungen
- Es gibt genau einen Schnittpunkt

Fall 2: Kein Schnittpunkt - parallele Geraden ($m_1 = m_2$, $b_1 \neq b_2$)
- Die Geraden haben die gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte
- Die Geraden sind parallel und schneiden sich nie
- Beim Gleichsetzen ergibt sich ein Widerspruch (z.B. $3 = 5$)

Fall 3: Unendlich viele Schnittpunkte - identische Geraden ($m_1 = m_2$, $b_1 = b_2$)
- Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade
- Jeder Punkt ist ein "Schnittpunkt"
- Beim Gleichsetzen ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. $0 = 0$)

Dieses Thema bringt nichts Neues. Es prüft, welche der sieben Themen schon sitzen — und schickt dich genau dorthin zurück, wo es noch klemmt.

Ablauf:

1. Runden-Training (W-Phase). Pro Runde bekommst du je eine Aufgabe aus vier Bereichen: Steigung und y-Achsenabschnitt, Darstellungen, Nullstellen, Schnittpunkte. Nach jeder Runde siehst du eine Prozent-Tabelle — eine Spalte pro Bereich.
2. Gezieltes Training (E-Phase). Ab der zweiten Runde darfst du umschalten. Dann werden dir deine drei schwächsten Bereiche angeboten; zwei davon kannst du als adaptive Aufgabenfolge trainieren: richtig → schwerer, falsch → leichter.
3. Kapitel-Mix. Wer durch ist, nimmt den Aufgabenpool darunter — dort liegen alle Aufgabentypen des Kapitels gemischt, auch die, die im Training nicht vorkommen: Steigungsdreieck mit $\Delta x$ und $\Delta y$, Geraden selbst zeichnen, das Gleichsetzen Schritt für Schritt und die beiden Sonderfälle parallel und identisch.

Über jeder Aufgabe steht ein Link zum passenden Thema. Wenn du nicht weiterweißt: erst dort nachlesen, dann zurück zur Aufgabe.

Die drei Sätze, die alles zusammenhalten:

- Zwei Zahlen legen eine Gerade fest. $m$ sagt, wie steil sie ist, $b$, wo sie startet. Jede Darstellung — Tabelle, Graph, Gleichung — trägt genau diese beiden Zahlen, nur anders verpackt.
- Jede Nullstelle ist ein Schnittpunkt. Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der Geraden $y = 0$ — deshalb rechnest du dort dasselbe wie beim Gleichsetzen, nur mit der besonders einfachen zweiten Gleichung.
- Die Steigung entscheidet über die Anzahl der Schnittpunkte. $m_1 \neq m_2$: genau einer. $m_1 = m_2$ und $b_1 \neq b_2$: keiner, die Geraden sind parallel. $m_1 = m_2$ und $b_1 = b_2$: unendlich viele, es ist dieselbe Gerade.