Eine Exponentialfunktion hat die Form:
f(x) = a · bˣ
wobei:
- a der Anfangswert (bei x = 0)
- b die Basis (b > 0, b ≠ 1)
- x der Exponent (Variable!)
Im Unterschied zur Potenzfunktion steht die Variable im Exponenten.
Wichtige Eigenschaften:
- Definitionsbereich: D = ℝ
- Wertebereich: W = ℝ⁺ (nur positive Werte)
- Der Graph schneidet die y-Achse bei f(0) = a
- f(-2) = 2⁻² = 1/4 = 0,25
- f(-1) = 2⁻¹ = 1/2 = 0,5
- f(0) = 2⁰ = 1
- f(1) = 2¹ = 2
- f(2) = 2² = 4
- f(3) = 2³ = 8
Der Funktionswert verdoppelt sich bei jedem Schritt um 1!
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Je nach Basis unterscheiden wir:
Exponentielles Wachstum (b > 1):
- Der Graph steigt
- f(x) = a · bˣ mit b > 1
- Beispiel: f(x) = 2ˣ
Exponentieller Zerfall (0 < b < 1):
- Der Graph fällt
- f(x) = a · bˣ mit 0 < b < 1
- Beispiel: f(x) = 0,5ˣ
Der Wachstumsfaktor ist b:
- b = 1,05 bedeutet 5% Wachstum
- b = 0,9 bedeutet 10% Abnahme
Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jede Stunde. Anfangs sind 100 Bakterien vorhanden.
Funktionsgleichung: f(t) = 100 · 2ᵗ (t in Stunden)
- Nach 0 h: f(0) = 100 · 2⁰ = 100 Bakterien
- Nach 1 h: f(1) = 100 · 2¹ = 200 Bakterien
- Nach 2 h: f(2) = 100 · 2² = 400 Bakterien
- Nach 3 h: f(3) = 100 · 2³ = 800 Bakterien
- Nach 10 h: f(10) = 100 · 2¹⁰ = 102.400 Bakterien
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Die wichtigste Exponentialfunktion ist die natürliche Exponentialfunktion:
f(x) = eˣ
Die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828... ist eine mathematische Konstante.
Besondere Eigenschaft:
Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung!
(Dies lernt ihr in der Oberstufe)
Allgemeine Form:
f(x) = a · e^(kx)
- a: Anfangswert
- k > 0: Wachstum
- k < 0: Zerfall
Die Temperatur T(t) eines Getränks folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz:
T(t) = T_Umgebung + (T_Anfang - T_Umgebung) · e^(-kt)
Eine 90°C heiße Tasse Kaffee (Raumtemperatur 20°C):
T(t) = 20 + 70 · e^(-0,1t) (t in Minuten)
- T(0) = 20 + 70 · e⁰ = 90°C
- T(10) = 20 + 70 · e⁻¹ ≈ 45,8°C
- T(20) = 20 + 70 · e⁻² ≈ 29,5°C
Lösungsstrategien:
1. Gleichsetzen der Exponenten (gleiche Basis):
Wenn a^x = a^y, dann x = y
2. Logarithmieren (verschiedene Basen):
Wenn b^x = c, dann x = log_b(c)
3. Substitution:
Bei Gleichungen wie (b^x)² + b^x - 6 = 0
Setze z = b^x
Exponenten gleichsetzen:
x + 1 = 5
x = 4
Beispiel 2: Basis umformen
4^x = 8
In Zweierpotenz umschreiben:
(2²)^x = 2³
2^(2x) = 2³
2x = 3
x = 1,5
Beispiel 3: Substitution
4^x - 5 · 2^x + 4 = 0
Setze z = 2^x, dann ist 4^x = (2^x)² = z²
z² - 5z + 4 = 0
(z - 1)(z - 4) = 0
z₁ = 1 oder z₂ = 4
Rücksubstitution:
2^x = 1 → x₁ = 0
2^x = 4 → x₂ = 2
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Bei p% Wachstum pro Zeiteinheit:
- Wachstumsfaktor: b = 1 + p/100
- Funktion: f(t) = a · (1 + p/100)^t
Bei p% Abnahme pro Zeiteinheit:
- Abnahmefaktor: b = 1 - p/100
- Funktion: f(t) = a · (1 - p/100)^t
Halbwertszeit: Zeit, bis die Hälfte zerfallen ist
Verdopplungszeit: Zeit, bis sich der Wert verdoppelt
Anfangskapital: 5000€, Zinssatz: 3% pro Jahr
f(t) = 5000 · 1,03^t
- Nach 1 Jahr: f(1) = 5000 · 1,03 = 5150€
- Nach 5 Jahren: f(5) = 5000 · 1,03⁵ ≈ 5796,37€
- Nach 10 Jahren: f(10) = 5000 · 1,03¹⁰ ≈ 6719,58€
Verdopplungszeit berechnen:
5000 · 1,03^t = 10000
1,03^t = 2
(Lösung mit Logarithmus: t ≈ 23,4 Jahre)
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion:
Wenn b^x = c, dann ist x = log_b(c)
Wichtige Logarithmen:
- log₁₀(x) = lg(x) - dekadischer Logarithmus
- log_e(x) = ln(x) - natürlicher Logarithmus
- log₂(x) = lb(x) - binärer Logarithmus
Logarithmusgesetze:
1. log(a · b) = log(a) + log(b)
2. log(a/b) = log(a) - log(b)
3. log(a^n) = n · log(a)
Basiswechsel:
log_b(x) = ln(x) / ln(b)
Dies wird in der Oberstufe vertieft!