1. Quadratische Funktionen und Parabeln

Eine quadratische Funktion kann in verschiedenen Formen dargestellt werden.

Formen:
1. Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
2. Scheitelpunktform: f(x) = a(x − d)² + e
3. Nullstellenform: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

Parameter:
- a > 0: Parabel nach oben geöffnet
- a < 0: Parabel nach unten geöffnet
- |a| > 1: Schmale Parabel
- |a| < 1: Breite Parabel
- d und e bilden den Scheitelpunkt (d|e)
- x₁ und x₂ sind Nullstellen der Funktion

Die Normalparabel f(x) = x² wird durch den Faktor a gestreckt oder gestaucht.

Die Funktion g(x) = a·x² heißt gestreckte/gestauchte Normalparabel.
Die Streckung/Stauchung wirkt immer in y-Richtung.

Der Scheitelpunkt bleibt bei allen Varianten im Ursprung S(0\|0).

Der Scheitelpunkt S(d|e) ist der tiefste (a > 0) oder höchste (a < 0) Punkt der Parabel.

Scheitelpunktform: f(x) = a(x − d)² + e

- d: x-Koordinate des Scheitelpunkts
- e: y-Koordinate des Scheitelpunkts

Der Scheitelpunkt ist also bei (d|e).

Die binomischen Formeln beschreiben das Ausmultiplizieren von Klammern mit zwei Termen:

1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. Binomische Formel: (a − b)² = a² − 2ab + b²

3. Binomische Formel: (a + b)(a − b) = a² − b²

Die 2. binomische Formel wird beim Umformen quadratischer Funktionen besonders häufig benötigt.

Die allgemeine Form (Normalform) f(x) = ax² + bx + c erhält man aus der Scheitelpunktform durch Ausmultiplizieren mit der 1. oder 2. binomischen Formel:

f(x) = a(x − d)² + e

Schritt 1: Klammer auflösen (2. binomische Formel): (x − d)² = x² − 2dx + d²

Schritt 2: Mit a multiplizieren: a·x² − 2ad·x + ad²

Schritt 3: e addieren: ax² − 2adx + ad² + e

Es gilt also: b = −2ad und c = ad² + e

Die quadratische Ergänzung wandelt die allgemeine Form in die Scheitelpunktform um.

Vorgehensweise für f(x) = x² + px + q (a = 1):

Schritt 1: Halbiere den Koeffizienten von x: p/2

Schritt 2: Schreibe (x + p/2)² − (p/2)² + q

Schritt 3: Vereinfache → Scheitelpunkt S(−p/2 | q − (p/2)²)

Für a ≠ 1: Zuerst a ausklammern, dann Schritt 1–3 anwenden.

Berechnung:
1. f(x) = 0 setzen
2. Quadratische Gleichung lösen (p-q-Formel oder abc-Formel, siehe unten)

Eine quadratische Gleichung in der Form x² + px + q = 0 löst man mit der p-q-Formel:

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante: D = (p/2)² − q

- D > 0: zwei Lösungen
- D = 0: genau eine Lösung (Scheitelpunkt auf der x-Achse)
- D < 0: keine Lösung

Die p-q-Formel funktioniert nur, wenn vor dem x² nichts steht (a = 1).

Bei ax² + bx + c = 0 teilt man deshalb zuerst die ganze Gleichung durch a:

Schritt 1: Durch a teilen → x² + (b/a)·x + (c/a) = 0

Schritt 2: Jetzt ist p = b/a und q = c/a → p-q-Formel anwenden

Mit der abc-Formel löst man ax² + bx + c = 0 direkt — ohne vorher zu teilen:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Die Diskriminante ist hier D = b² − 4ac (gleiche Fallunterscheidung wie oben).

Beide Formeln liefern dieselben Lösungen — du darfst dir aussuchen, mit welcher du rechnest.

Hat eine Parabel zwei Nullstellen x₁ und x₂, lässt sie sich in der Nullstellenform (auch faktorisierte Form genannt) schreiben:

$f(x) = a \cdot (x - x_1)(x - x_2)$

- x₁ und x₂ sind direkt ablesbar – es sind genau die Nullstellen.
- a ist der Streckfaktor (a > 0: nach oben geöffnet, a < 0: nach unten).
- Für a = 1 gilt einfach: f(x) = (x − x₁)(x − x₂)

Beispiel: f(x) = (x + 2)(x − 3) → Nullstellen bei x₁ = −2 und x₂ = 3

Sind drei Punkte einer Parabel bekannt, lässt sich die Gleichung f(x) = ax² + bx + c bestimmen.

Vorgehensweise:

Schritt 1: Die x- und y-Koordinaten jedes Punktes in f(x) = ax² + bx + c einsetzen → drei Gleichungen mit den Unbekannten a, b, c.

Schritt 2: Das lineare Gleichungssystem lösen (Einsetzungs- oder Additionsverfahren).

Schritt 3: a, b, c in die allgemeine Form einsetzen und überprüfen.

Tipp: Liegt ein Punkt auf der y-Achse (x = 0), ergibt sich sofort c = y₀ (y-Wert dieses Punktes).

Die Schnittpunkte einer Parabel f(x) = ax² + bx + c mit einer Geraden g(x) = mx + n erhält man durch Gleichsetzen:

ax² + bx + c = mx + n

Umformen zu: ax² + (b − m)x + (c − n) = 0

Diese quadratische Gleichung mit der p-q-Formel lösen.

Anzahl der Schnittpunkte (abhängig von der Diskriminante D):
- D > 0: Zwei Schnittpunkte (Sekante)
- D = 0: Ein Schnittpunkt (Tangente)
- D < 0: Kein Schnittpunkt

Für jeden x-Wert: y-Koordinate über g(x) = mx + n berechnen.

Der Scheitelpunkt einer Parabel liefert automatisch das Maximum oder Minimum einer quadratischen Funktion:

- a > 0: Scheitelpunkt ist das Minimum (tiefster Punkt)
- a < 0: Scheitelpunkt ist das Maximum (höchster Punkt)

Vorgehensweise bei Sachaufgaben:

Schritt 1: Situation mit einer quadratischen Funktion modellieren (Variable einführen, Terme aufstellen).

Schritt 2: Funktion in Scheitelpunktform bringen (quadratische Ergänzung oder Ablesen).

Schritt 3: Scheitelpunkt ablesen und Ergebnis interpretieren.

Dieses Thema bringt nichts Neues. Es prüft, welche der fünf Werkzeuge schon sitzen — und schickt dich genau dorthin zurück, wo es noch klemmt.

Ablauf:

1. Runden-Training (W-Phase). Pro Runde bekommst du je eine Aufgabe aus fünf Bereichen: Strecken und Stauchen, Scheitelpunktform, quadratische Ergänzung, Nullstellen, Schnittpunkte. Nach jeder Runde siehst du eine Prozent-Tabelle — eine Spalte pro Bereich. Schreib sie ab, sie verschwindet beim Umschalten.
2. Gezieltes Training (E-Phase). Ab der zweiten Runde darfst du umschalten. Dann werden dir deine drei schwächsten Bereiche angeboten; zwei davon kannst du als adaptive Aufgabenfolge trainieren: richtig → schwerer, falsch → leichter.
3. Kapitel-Mix. Wer durch ist, nimmt den Aufgabenpool darunter — dort liegen auch die Typen, die im Training nicht vorkommen: Wertetabellen, binomische Formeln, Parabel durch drei Punkte, die abc-Formel und die Extremwertaufgaben.

Über jeder Aufgabe steht ein Link zum passenden Thema. Wenn du nicht weiterweißt: erst dort nachlesen, dann zurück zur Aufgabe.

Die drei Sätze, die das Kapitel zusammenhalten:

- Jede quadratische Funktion lässt sich in zwei Formen schreiben. Die allgemeine Form zeigt den y-Achsenabschnitt, die Scheitelpunktform zeigt den Scheitel. Quadratische Ergänzung ist der Weg hin, Ausmultiplizieren der Weg zurück — dieselbe Funktion, andere Brille.
- Der Scheitelpunkt ist der wichtigste Punkt der Parabel. Er liefert Maximum oder Minimum, er legt zusammen mit a die ganze Kurve fest, und er entscheidet über die Anzahl der Nullstellen.
- Nullstellen sind ein Spezialfall von Schnittpunkten. Bei Nullstellen schneidet die Parabel die Gerade y = 0. Der Rechenweg ist derselbe: gleichsetzen, ordnen, quadratische Gleichung lösen.