Eine quadratische Funktion kann in verschiedenen Formen dargestellt werden.
Formen:
1. Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
2. Scheitelpunktform: f(x) = a(x − d)² + e
3. Nullstellenform: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)
Parameter:
- a > 0: Parabel nach oben geöffnet
- a < 0: Parabel nach unten geöffnet
- |a| > 1: Schmale Parabel
- |a| < 1: Breite Parabel
- d und e bilden den Scheitelpunkt (d|e)
- x₁ und x₂ sind Nullstellen der Funktion
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Die Normalparabel f(x) = x² wird durch den Faktor a gestreckt oder gestaucht.
Die Funktion g(x) = a·x² heißt gestreckte/gestauchte Normalparabel.
Die Streckung/Stauchung wirkt immer in y-Richtung.
| Bedingung | Wirkung |
|---|---|
| a > 1 | Parabel wird gestreckt (schmaler) |
| 0 < a < 1 | Parabel wird gestaucht (breiter) |
| a < 0 | Parabel wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt |
Der Scheitelpunkt bleibt bei allen Varianten im Ursprung S(0\|0).
Vergleich der Funktionswerte an der Stelle x = 2:
| Funktion | Rechnung | f(2) |
|---|---|---|
| f(x) = x² | 2² | 4 |
| g(x) = 2x² | 2 · 2² | 8 (gestreckt) |
| h(x) = 0,5x² | 0,5 · 2² | 2 (gestaucht) |
| k(x) = −x² | −1 · 2² | −4 (gespiegelt) |
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Der Scheitelpunkt S(d|e) ist der tiefste (a > 0) oder höchste (a < 0) Punkt der Parabel.
Scheitelpunktform: f(x) = a(x − d)² + e
- d: x-Koordinate des Scheitelpunkts
- e: y-Koordinate des Scheitelpunkts
Der Scheitelpunkt ist also bei (d|e).
Scheitelpunktform ablesen:
f(x) = (x − 2)² + 1
Scheitelpunkt: S(2|1)
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Die binomischen Formeln beschreiben das Ausmultiplizieren von Klammern mit zwei Termen:
1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel: (a − b)² = a² − 2ab + b²
3. Binomische Formel: (a + b)(a − b) = a² − b²
Die 2. binomische Formel wird beim Umformen quadratischer Funktionen besonders häufig benötigt.
2. binomische Formel:
(x − 5)² = x² − 2·x·5 + 5² = x² − 10x + 25
3. binomische Formel:
(x + 4)(x − 4) = x² − 16
Rückwärts erkennen (Faktorisieren):
x² + 8x + 16 = (x + 4)² → weil 4² = 16 und 2·4 = 8
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Die allgemeine Form (Normalform) f(x) = ax² + bx + c erhält man aus der Scheitelpunktform durch Ausmultiplizieren mit der 1. oder 2. binomischen Formel:
f(x) = a(x − d)² + e
Schritt 1: Klammer auflösen (2. binomische Formel): (x − d)² = x² − 2dx + d²
Schritt 2: Mit a multiplizieren: a·x² − 2ad·x + ad²
Schritt 3: e addieren: ax² − 2adx + ad² + e
Es gilt also: b = −2ad und c = ad² + e
Schritt 1: (x − 2)² = x² − 4x + 4
Schritt 2: 3·(x² − 4x + 4) = 3x² − 12x + 12
Schritt 3: 3x² − 12x + 12 + 1 = 3x² − 12x + 13
f(x) = −2(x + 1)² + 5 in allgemeine Form:
(x + 1)² = x² + 2x + 1
−2·(x² + 2x + 1) = −2x² − 4x − 2
−2x² − 4x − 2 + 5 = −2x² − 4x + 3
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Die quadratische Ergänzung wandelt die allgemeine Form in die Scheitelpunktform um.
Vorgehensweise für f(x) = x² + px + q (a = 1):
Schritt 1: Halbiere den Koeffizienten von x: p/2
Schritt 2: Schreibe (x + p/2)² − (p/2)² + q
Schritt 3: Vereinfache → Scheitelpunkt S(−p/2 | q − (p/2)²)
Für a ≠ 1: Zuerst a ausklammern, dann Schritt 1–3 anwenden.
Schritt 1: p/2 = −3
Schritt 2: (x − 3)² − (−3)² + 11 = (x − 3)² − 9 + 11
Schritt 3: f(x) = (x − 3)² + 2 → Scheitelpunkt S(3|2)
---
f(x) = 2x² + 8x − 6 (a ≠ 1):
Schritt 1: 2 ausklammern: 2(x² + 4x) − 6
Schritt 2: p/2 = 2, ergänze 2·[(x + 2)² − 4] − 6
Schritt 3: 2(x + 2)² − 8 − 6 = 2(x + 2)² − 14 → Scheitelpunkt S(−2|−14)
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Berechnung:
1. f(x) = 0 setzen
2. Quadratische Gleichung lösen (p-q-Formel, etc.)
Anzahl der Nullstellen:
- Diskriminante > 0: Zwei Nullstellen
- Diskriminante = 0: Eine Nullstelle (Scheitelpunkt auf x-Achse)
- Diskriminante < 0: Keine Nullstellen
0 = x² − 5x + 6
x₁,₂ = 5/2 ± √((5/2)² − 6)
x₁,₂ = 2,5 ± √(6,25 − 6)
x₁,₂ = 2,5 ± 0,5
Nullstellen: x₁ = 3, x₂ = 2
Faktorisierte Form:
f(x) = (x − 2)(x − 3)
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Hat eine Parabel zwei Nullstellen x₁ und x₂, lässt sie sich in der faktorisierten Form schreiben:
$f(x) = a \cdot (x - x_1)(x - x_2)$
- x₁ und x₂ sind direkt ablesbar – es sind genau die Nullstellen.
- a ist der Streckfaktor (a > 0: nach oben geöffnet, a < 0: nach unten).
- Für a = 1 gilt einfach: f(x) = (x − x₁)(x − x₂)
Beispiel: f(x) = (x + 2)(x − 3) → Nullstellen bei x₁ = −2 und x₂ = 3
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Sind drei Punkte einer Parabel bekannt, lässt sich die Gleichung f(x) = ax² + bx + c bestimmen.
Vorgehensweise:
Schritt 1: Die x- und y-Koordinaten jedes Punktes in f(x) = ax² + bx + c einsetzen → drei Gleichungen mit den Unbekannten a, b, c.
Schritt 2: Das lineare Gleichungssystem lösen (Einsetzungs- oder Additionsverfahren).
Schritt 3: a, b, c in die allgemeine Form einsetzen und überprüfen.
Tipp: Liegt ein Punkt auf der y-Achse (x = 0), ergibt sich sofort c = y₀ (y-Wert dieses Punktes).
f(x) = ax² + bx + c
Aus P₁(0|3): a·0 + b·0 + c = 3 → c = 3
Aus P₂(1|0): a + b + 3 = 0 → a + b = −3 (I)
Aus P₃(3|6): 9a + 3b + 3 = 6 → 9a + 3b = 3 → 3a + b = 1 (II)
(II) − (I): 2a = 4 → a = 2
Einsetzen in (I): 2 + b = −3 → b = −5
f(x) = 2x² − 5x + 3
Probe: f(3) = 18 − 15 + 3 = 6 ✓
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Die Schnittpunkte einer Parabel f(x) = ax² + bx + c mit einer Geraden g(x) = mx + n erhält man durch Gleichsetzen:
ax² + bx + c = mx + n
Umformen zu: ax² + (b − m)x + (c − n) = 0
Diese quadratische Gleichung mit der p-q-Formel lösen.
Anzahl der Schnittpunkte (abhängig von der Diskriminante D):
- D > 0: Zwei Schnittpunkte (Sekante)
- D = 0: Ein Schnittpunkt (Tangente)
- D < 0: Kein Schnittpunkt
Für jeden x-Wert: y-Koordinate über g(x) = mx + n berechnen.
Gleichsetzen: x² − 3x + 2 = x − 1
Umformen: x² − 4x + 3 = 0
p-q-Formel (p = −4, q = 3):
x₁,₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1
x₁ = 3 → y₁ = 3 − 1 = 2 → S₁(3|2)
x₂ = 1 → y₂ = 1 − 1 = 0 → S₂(1|0)
---
Tangente g(x) = 3x − 2 an f(x) = x² + x − 1:
x² + x − 1 = 3x − 2 → x² − 2x + 1 = 0
D = (−1)² − 1 = 1 − 1 = 0 → ein Schnittpunkt (Berührpunkt) → Tangente bestätigt
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Der Scheitelpunkt einer Parabel liefert automatisch das Maximum oder Minimum einer quadratischen Funktion:
- a > 0: Scheitelpunkt ist das Minimum (tiefster Punkt)
- a < 0: Scheitelpunkt ist das Maximum (höchster Punkt)
Vorgehensweise bei Sachaufgaben:
Schritt 1: Situation mit einer quadratischen Funktion modellieren (Variable einführen, Terme aufstellen).
Schritt 2: Funktion in Scheitelpunktform bringen (quadratische Ergänzung oder Ablesen).
Schritt 3: Scheitelpunkt ablesen und Ergebnis interpretieren.
Die Höhe eines geworfenen Balls beträgt h(t) = −t² + 6t + 1 (Höhe in Metern, Zeit in Sekunden).
Quadratische Ergänzung:
h(t) = −(t² − 6t) + 1 = −[(t − 3)² − 9] + 1 = −(t − 3)² + 10
Scheitelpunkt: S(3|10)
→ Der Ball erreicht nach 3 Sekunden seine maximale Höhe von 10 Metern.
---
Beispiel 2: Flächenoptimierung
Ein Rechteck mit Umfang 24 m soll maximale Fläche haben.
Sei l die Länge → Breite b = 12 − l
A(l) = l·(12 − l) = −l² + 12l
Quadratische Ergänzung: A(l) = −(l − 6)² + 36
Scheitelpunkt: S(6|36)
→ Bei l = b = 6 m (Quadrat) ist die Fläche mit 36 m² maximal.
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