In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es:
- Eine Hypotenuse c (längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel)
- Zwei Katheten a und b (Seiten am rechten Winkel)
- Einen rechten Winkel (90°)
- Zwei spitze Winkel α und β
Wichtig: α + β = 90° (Winkelsumme: 180°)
Bezogen auf einen Winkel α unterscheiden wir:
- Gegenkathete: Seite gegenüber von α
- Ankathete: Seite anliegend an α
- Hypotenuse: immer gegenüber dem rechten Winkel
Gesucht: Die Katheten a und b
Dies werden wir mit den trigonometrischen Funktionen lösen können!
Die trigonometrischen Funktionen beschreiben Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck:
Sinus: sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
Kosinus: cos(α) = Ankathete / Hypotenuse
Tangens: tan(α) = Gegenkathete / Ankathete
Merkhilfe (GAGA-Regel):
- Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse → Gegenüber
- Cosinus = Ankathete / Hypotenuse → Anliegend
- Tangens = Gegenkathete / Ankathete → Gegen/An
Alternative Merkhilfe: "Geh du alter Kater, geh du alter Schlingel"
(GEgenkathete durch Alte = sin, ANkathete durch Alte = cos, GEgenkathete durch ANkathete = tan)
sin(α) = 3/5 = 0,6
cos(α) = 4/5 = 0,8
tan(α) = 3/4 = 0,75
Mit dem Taschenrechner: (im DEG-Modus!)
α = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,87°
α = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,87°
α = tan⁻¹(0,75) ≈ 36,87°
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Mit den Winkelfunktionen können wir fehlende Seiten berechnen:
Gegeben: Ein Winkel und eine Seite
Gesucht: Weitere Seiten
Formeln umstellen:
- Gegenkathete = Hypotenuse · sin(α)
- Ankathete = Hypotenuse · cos(α)
- Gegenkathete = Ankathete · tan(α)
- Ankathete = Gegenkathete / tan(α)
- Hypotenuse = Gegenkathete / sin(α)
- Hypotenuse = Ankathete / cos(α)
Lösung:
a = b · tan(40°) = 8 · 0,839 ≈ 6,71 cm
c = b / cos(40°) = 8 / 0,766 ≈ 10,44 cm
Probe mit Pythagoras:
c² = a² + b²
10,44² ≈ 6,71² + 8²
108,99 ≈ 45,02 + 64
108,99 ≈ 109,02 ✓
Mit den Umkehrfunktionen können wir Winkel berechnen:
sin⁻¹ (oder arcsin) - Arkussinus
cos⁻¹ (oder arccos) - Arkuskosinus
tan⁻¹ (oder arctan) - Arkustangens
Auf dem Taschenrechner oft: sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ oder asin, acos, atan
Wichtig: Taschenrechner muss im DEG-Modus sein (Grad, nicht Radiant)!
Formeln:
- α = sin⁻¹(Gegenkathete / Hypotenuse)
- α = cos⁻¹(Ankathete / Hypotenuse)
- α = tan⁻¹(Gegenkathete / Ankathete)
Lösung mit Tangens:
tan(α) = a/b = 7/10 = 0,7
α = tan⁻¹(0,7) ≈ 34,99° ≈ 35°
Kontrolle: β = 90° - 35° = 55°
tan(β) = b/a = 10/7 ≈ 1,428
β = tan⁻¹(1,428) ≈ 55° ✓
Trigonometrie findet Anwendung bei:
- Steigungen (z.B. Dächer, Rampen, Straßen)
- Höhenmessungen (Gebäude, Berge, Bäume)
- Navigation (Schifffahrt, Luftfahrt)
- Architektur und Bauwesen
Steigungswinkel: tan(α) = Höhe / Länge
Steigung in %: m = (Höhe / Länge) · 100
tan(35°) = h / 4 (halbe Breite!)
h = 4 · tan(35°) ≈ 4 · 0,7 = 2,8 m
Beispiel 2: Förster
Ein Förster steht 20 m von einem Baum entfernt und misst einen Winkel von 65° zur Baumspitze.
Wie hoch ist der Baum?
tan(65°) = h / 20
h = 20 · tan(65°) ≈ 20 · 2,145 = 42,9 m
Beispiel 3: Straßensteigung
Eine Straße steigt auf 100 m Länge um 12 m an.
Wie groß ist der Steigungswinkel?
tan(α) = 12/100 = 0,12
α = tan⁻¹(0,12) ≈ 6,84°
Steigung: 12%
Für besondere Winkel kann man die Winkelfunktionen ohne Taschenrechner bestimmen:
30°-60°-90° Dreieck:
- sin(30°) = 1/2 = 0,5
- cos(30°) = √3/2 ≈ 0,866
- tan(30°) = 1/√3 ≈ 0,577
- sin(60°) = √3/2 ≈ 0,866
- cos(60°) = 1/2 = 0,5
- tan(60°) = √3 ≈ 1,732
45°-45°-90° Dreieck:
- sin(45°) = √2/2 ≈ 0,707
- cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707
- tan(45°) = 1
1. In einem 30°-60°-90° Dreieck mit Hypotenuse 10 cm:
- Gegenkathete zu 30°: a = 10 · sin(30°) = 10 · 0,5 = 5 cm
- Ankathete zu 30°: b = 10 · cos(30°) = 10 · √3/2 ≈ 8,66 cm
2. In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck (45°-45°-90°) mit Kathete 6 cm:
- Hypotenuse: c = 6 / sin(45°) = 6 / (√2/2) = 6√2 ≈ 8,49 cm
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1. Trigonometrischer Pythagoras:
sin²(α) + cos²(α) = 1
2. Tangens aus Sinus und Kosinus:
tan(α) = sin(α) / cos(α)
3. Komplementärwinkel:
sin(α) = cos(90° - α)
cos(α) = sin(90° - α)
4. Sinussatz (für beliebige Dreiecke):
a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)
5. Kosinussatz (für beliebige Dreiecke):
c² = a² + b² - 2ab·cos(γ)
Diese erweiterten Sätze werden in der Oberstufe behandelt und ermöglichen Berechnungen in allen Dreiecken, nicht nur rechtwinkligen!
Einheitskreis: In der Oberstufe werden Sinus und Kosinus auch am Einheitskreis definiert, wodurch sie für alle Winkel (auch > 90°) und als periodische Funktionen verwendet werden können.