Das Hookesche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Kraft und Auslenkung einer Feder:
F = D · Δx
- F = rückstellende Kraft in Newton (N)
- D = Federkonstante in Newton pro Meter (N/m)
- Δx = Längenänderung der Feder in Meter (m)
Die Kraft ist proportional zur Auslenkung und zeigt stets zur Ruhelage zurück (rückstellende Kraft).
Zusammenhang mit der Gewichtskraft:
Hängt man eine Masse m an eine Feder, gilt im Gleichgewicht:
F_Gewicht = F_Feder
m · g = D · Δx
Daraus laesst sich die Federkonstante bestimmen:
D = (m · g) / Δx
Lösung:
- Gegeben: m = 0,2 kg, Δx = 0,04 m, g = 9,81 m/s²
- Formel: D = (m · g) / Δx
- Berechnung: D = (0,2 · 9,81) / 0,04 = 1,962 / 0,04 = 49,05 N/m
Antwort: Die Federkonstante beträgt etwa 49 N/m.
Lösung:
- Gegeben: D = 120 N/m, F = 6 N
- Formel: Δx = F / D
- Berechnung: Δx = 6 / 120 = 0,05 m = 5 cm
Antwort: Die Feder wird um 5 cm gedehnt.
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Eine mechanische Schwingung ist eine periodische Bewegung eines Körpers um eine Gleichgewichtslage.
Voraussetzungen für eine Schwingung:
1. Eine Ruhelage (Gleichgewichtslage)
2. Eine rückstellende Kraft, die den Körper zur Ruhelage zurücktreibt
3. Traegheit des Körpers (er schiesst über die Ruhelage hinaus)
Wichtige Grössen:
- Amplitude A = maximale Auslenkung von der Ruhelage (m)
- Periodendauer T = Zeit für eine vollständige Schwingung (s)
- Frequenz f = Anzahl der Schwingungen pro Sekunde (Hz)
- Elongation s(t) = momentane Auslenkung zur Zeit t (m)
Zusammenhang Frequenz und Periodendauer:
f = 1 / T bzw. T = 1 / f
Einheiten:
- 1 Hz (Hertz) = 1/s = eine Schwingung pro Sekunde
Lösung:
- Gegeben: 30 Schwingungen in 60 s
- Frequenz: f = 30 / 60 s = 0,5 Hz
- Periodendauer: T = 1 / f = 1 / 0,5 = 2 s
Antwort: Die Frequenz beträgt 0,5 Hz, die Periodendauer 2 Sekunden.
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Ein Federschwinger (Masse an einer Feder) führt eine harmonische Schwingung aus:
Periodendauer des Federschwingers:
T = 2π · √(m / D)
- T = Periodendauer in Sekunden (s)
- m = schwingende Masse in Kilogramm (kg)
- D = Federkonstante in N/m
Frequenz:
f = 1 / (2π) · √(D / m)
Wichtige Eigenschaften:
- T hängt nicht von der Amplitude ab (bei kleinen Auslenkungen)
- Grössere Masse → längere Periodendauer (traeger)
- Grössere Federkonstante → kürzere Periodendauer (stärkere Rückstellkraft)
Zeitlicher Verlauf (Elongation):
s(t) = A · sin(2π · f · t) = A · sin(ω · t)
mit ω = 2π · f = 2π / T (Kreisfrequenz)
Lösung:
- Gegeben: D = 50 N/m, m = 0,5 kg
- Formel: T = 2π · √(m / D)
- Berechnung: T = 2π · √(0,5 / 50) = 2π · √(0,01) = 2π · 0,1 = 0,628 s
Antwort: Die Periodendauer beträgt etwa 0,63 Sekunden.
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Ein Fadenpendel (Masse an einem Faden der Länge L) ist ein weiterer harmonischer Schwinger:
Periodendauer des Fadenpendels:
T = 2π · √(L / g)
- T = Periodendauer in Sekunden (s)
- L = Fadenlänge in Meter (m)
- g = Erdbeschleunigung = 9,81 m/s²
Frequenz:
f = 1 / (2π) · √(g / L)
Wichtige Eigenschaften:
- T hängt nur von der Fadenlänge ab (nicht von der Masse!)
- T hängt nicht von der Amplitude ab (Näherung für kleine Winkel < 10°)
- Laengerer Faden → längere Periodendauer
Vergleich mit dem Federschwinger:
| Eigenschaft | Federschwinger | Fadenpendel |
|---|---|---|
| Formel | T = 2π·√(m/D) | T = 2π·√(L/g) |
| Abhängig von Masse? | Ja | Nein |
| Abhängig von Amplitude? | Nein | Nein |
| Rückstellkraft | Federkraft | Schwerkraft |
*Näherung für kleine Auslenkungen
Lösung:
- Gegeben: L = 1,5 m, g = 9,81 m/s²
- Formel: T = 2π · √(L / g)
- Berechnung: T = 2π · √(1,5 / 9,81) = 2π · √(0,1529) = 2π · 0,391 = 2,457 s
Antwort: Die Periodendauer beträgt etwa 2,46 Sekunden.
Lösung:
- Gegeben: T = 2 s, g = 9,81 m/s²
- Formel umstellen: L = g · (T / (2π))²
- Berechnung: L = 9,81 · (2 / (2π))² = 9,81 · (0,3183)² = 9,81 · 0,1013 = 0,994 m
Antwort: Der Faden muss etwa 1 m lang sein.
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Schwingungen werden im t-s-Diagramm dargestellt (Zeit auf der x-Achse, Elongation auf der y-Achse):
Mathematische Beschreibung:
s(t) = A · sin(2π/T · t) = A · sin(2π · f · t)
Ablesen aus dem Diagramm:
- Amplitude A = Abstand zwischen Ruhelage und Maximum (oder Minimum)
- Periodendauer T = Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima
- Frequenz f = 1 / T
Zusammenhänge:
- Geschwindigkeit v(t) = A · ω · cos(ω · t) → maximal in der Ruhelage
- Beschleunigung a(t) = -A · ω² · sin(ω · t) → maximal am Umkehrpunkt
Lösung:
- Amplitude: A = 3 cm = 0,03 m (Abstand Ruhelage bis Maximum)
- Periodendauer: T = 0,8 s (Abstand zwischen zwei Maxima)
- Frequenz: f = 1 / T = 1 / 0,8 = 1,25 Hz
Antwort: A = 3 cm, T = 0,8 s, f = 1,25 Hz.
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Bei einer harmonischen Schwingung wird ständig Energie zwischen kinetischer und potentieller Energie umgewandelt:
Federschwinger:
- Potentielle Energie (Spannenergie): E_pot = ½ · D · s²
- Kinetische Energie: E_kin = ½ · m · v²
- Gesamtenergie: E_ges = ½ · D · A² = konstant
Am Umkehrpunkt (s = A): E_pot = maximal, E_kin = 0
In der Ruhelage (s = 0): E_pot = 0, E_kin = maximal
Die maximale Geschwindigkeit tritt in der Ruhelage auf:
v_max = A · ω = A · 2π · f
Fadenpendel:
- Potentielle Energie (Lageenergie): E_pot = m · g · h
- Kinetische Energie: E_kin = ½ · m · v²
- h = L - L·cos(α) ≈ s²/(2L) für kleine Winkel
Lösung:
- Gegeben: D = 80 N/m, m = 0,2 kg, A = 0,05 m
- ω = √(D/m) = √(80/0,2) = √400 = 20 rad/s
- v_max = A · ω = 0,05 · 20 = 1 m/s
Antwort: Die maximale Geschwindigkeit beträgt 1 m/s.
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In der Realität werden Schwingungen durch Reibung gedämpft. Die Amplitude nimmt mit der Zeit ab:
Arten der Dämpfung:
1. Schwache Dämpfung: Der Körper schwingt noch, aber die Amplitude nimmt exponentiell ab
2. Aperiodischer Grenzfall: Der Körper kehrt ohne Schwingung schnellstmöglich zur Ruhelage zurück
3. Starke Dämpfung (Kriechfall): Der Körper kehrt sehr langsam zur Ruhelage zurück
Gedaempfte Schwingung:
s(t) = A₀ · e^(-δt) · sin(ω_d · t)
- δ = Dämpfungskonstante
- ω_d = Frequenz der gedämpften Schwingung (etwas kleiner als ω₀)
Eine erzwungene Schwingung entsteht, wenn ein gedämpftes System periodisch von aussen angeregt wird:
Resonanz tritt auf, wenn die Erregerfrequenz f_E gleich der Eigenfrequenz f₀ ist:
f_E = f₀ → maximale Amplitude
Resonanzkurve:
- Bei f_E << f₀: kleine Amplitude
- Bei f_E = f₀: maximale Amplitude (Resonanz)
- Bei f_E >> f₀: sehr kleine Amplitude
Beispiele für Resonanz:
- Schaukel (Anschwingen im richtigen Takt)
- Glas zerspringt bei passender Tonfrequenz
- Brücken können bei Resonanz gefährlich schwingen (Tacoma-Narrows-Brücke 1940)
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In der Physik werden Zusammenhänge oft aus Messdaten ermittelt. Dazu passt man eine mathematische Funktion an die Messpunkte an (Regression):
Wichtige Funktionstypen:
| Funktionstyp | Gleichung | Typisches Aussehen |
|---|---|---|
| Linear | y = a·x + b | Gerade |
| Quadratisch | y = a·x² + b | Parabel |
| Wurzelfunktion | y = a·√x + b | Wurzelkurve |
| Exponentiell | y = a·e^(bx) | Exponentialkurve |
| Sinusförmig | y = a·sin(bx + c) | Wellenkurve |
Vorgehen bei der Regression:
1. Messdaten aufnehmen und in eine Tabelle eintragen
2. Daten im Koordinatensystem auftragen
3. Funktionstyp anhand des Verlaufs identifizieren
4. Regression mit dem Taschenrechner durchführen
5. Parameter physikalisch interpretieren
Beispiel: Beim Fadenpendel misst man T für verschiedene L.
Trägt man T gegen √L auf, erhält man eine Gerade mit Steigung 2π/√g.
Lösung:
- Theoretische Formel: T = 2π · √(m/D)
- Vergleich mit Regression: T = 0,628 · √m → also 2π/√D = 0,628
- Umstellen: √D = 2π / 0,628 = 10,0
- D = 100 N/m
Antwort: Die Federkonstante beträgt 100 N/m.
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Eine harmonische Schwingung entsteht genau dann, wenn die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung und entgegengesetzt zu ihr ist:
F = −D · s
Dies nennt man ein lineares Kraftgesetz. Die Kraft ist linear in s und zeigt stets zur Ruhelage (Minuszeichen).
Folge: Bei linearem Kraftgesetz ist die Periodendauer T unabhängig von der Amplitude.
Beispiele:
- Federschwinger: F_Feder = −D · s ✓ (exakt linear)
- Fadenpendel: F_Rueck ≈ −(m·g/L) · s ✓ (nur für kleine Winkel α < 10°)
- Fadenpendel bei grosser Auslenkung: nicht mehr linear → keine ideale harmonische Schwingung
Merke: Ist die Rückstellkraft nicht linear, schwingt das System zwar, aber nicht harmonisch – T hängt dann von der Amplitude ab.
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Der elektromagnetische Schwingkreis (Spule L + Kondensator C) aus Kurs 2 ist das elektrische Analogon zum mechanischen Federschwinger:
| Federschwinger | Schwingkreis |
|---|---|
| Masse m | Induktivität L |
| Federkonstante D | Kehrwert 1/C |
| Auslenkung s | Ladung Q |
| Geschwindigkeit v | Stromstärke I |
| E_kin = ½ · m · v² | E_mag = ½ · L · I² |
| E_pot = ½ · D · s² | E_el = ½ · Q²/C |
Eigenfrequenz (Thomsonsche Schwingungsgleichung):
| Federschwinger | Schwingkreis |
|---|---|
| f₀ = (1/2π) · √(D/m) | f₀ = 1 / (2π · √(LC)) |
Resonanz am Schwingkreis: f_E = f₀ → maximale Stromamplitude. Anwendung: Radioempfänger stimmt durch veränderbaren Kondensator auf Senderfrequenz ab (f₀ ~ 1/√C).
- Funktionsgenerator mit Rechteckspannung (Schalter 1 und 6 auf ein, Frequenz frei wählbar)
- Messverstärker
- Flachspule N = 1000, ohne U-Kern (mit Kern wird L zu groß, der Kreis schwingt dann nicht mehr)
- Kondensator 1 µF — ein Folienkondensator, kein Elektrolytkondensator
- Widerstand 47 Ω
- Digitales Oszilloskop mit Tastkopf
- Multimeter
- Steckplatte und Kabel
Jede Flanke einer Rechteckspannung stößt den Schwingkreis aus Spule und Kondensator neu an. Auf dem Oszilloskop siehst du danach eine Schwingung, die immer kleiner wird. Untersuche, wie schnell sie abklingt, und finde heraus, woran das liegt.
1. Baue die Schaltung nach dem Schaltplan auf. Stelle am Funktionsgenerator die Schalter 1 und 6 auf ein; die Frequenz ist frei wählbar. Verwende den Kondensator mit 1 µF und den Widerstand mit 47 Ω.
2. Der Widerstand liegt in Reihe zur Quelle, Kondensator und Spule liegen parallel zueinander. Verwende anstelle der Voltmeter das Oszilloskop. Weil an C und L dieselben beiden Knoten anliegen, genügt eine Messung: Klemme den Tastkopf an den oberen Knoten und die Masseklemme an den unteren — also nicht an den Minuspol der Quelle, sonst überbrückst du den Widerstand.
3. Stelle das Oszilloskop wie folgt ein: V1 = 100 mV und Δt = 10 µs. Trigger auf Normal (nicht Auto), Flanke steigend.
4. Drehe die Zeitbasis und verschiebe die horizontale Position so, dass eine Flanke mit ihrer abklingenden Schwingung bildfüllend zu sehen ist. Je nach Spule brauchst du dafür eine gröbere Zeitbasis als 10 µs/div — bei einer Flachspule N = 1000 eher 50 bis 100 µs/div.
5. Miss die Periodendauer mit den Cursors — nicht mit MEASURE. Die Automatik erfasst die Rechteckfrequenz, nicht die Schwingung. Setze die Cursors über fünf Perioden und teile durch 5; das drückt den Ablesefehler.
6. Lies nacheinander die Hochpunkte der Kurve ab und notiere zu jedem die Zeit t und die Spannung U_max in der Tabelle.
7. Miss zum Schluss den ohmschen Widerstand der Spule mit dem Multimeter und notiere ihn.
Die Schaltung und das erwartete Oszilloskopbild: eine einzelne Flanke, herangezoomt. T ist der Abstand zweier benachbarter Hochpunkte — gemessen wird er nach Schritt 5 über fünf Perioden.
| Hochpunkt n | t in µs | Uₘₐₓ in V | ln(Uₘₐₓ / 1 V) |
|---|---|---|---|
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
| 5 |
1. Beschreibe den Verlauf der Kurve. Welche Funktion hat dabei die Art der am Funktionsgenerator gewählten Spannung? Begründe außerdem, warum eine einzige Messung genügt, obwohl im Kreis zwei Bauteile stecken.
2. Bestimme die Zeitspanne einer Periode.
3. Bestimme eine Funktion U_max(t), indem du dich auf die Spannungen der Hochpunkte beziehst. Erstelle dazu ein passendes Diagramm. Tipp: Trage nicht U_max, sondern ln(U_max) gegen t auf — ergibt sich eine Gerade, kennst du den Funktionstyp.
4. Stelle eine begründete Vermutung auf, warum es zu diesem Effekt kommt.
5. Wie müsste der Spannungsverlauf im Idealfall aussehen? Erkläre diesen im Bezug auf die verwendeten Bauteile (ohne Widerstand).
6. Berechne aus deiner Periodendauer und C = 1 µF mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung die Induktivität L der Spule — auf der Spule steht sie nicht.
Zu 1: Nach jeder Flanke sieht man eine Schwingung, deren Amplitude von Periode zu Periode kleiner wird, während die Periodendauer gleich bleibt — die Nulldurchgänge liegen in konstantem Abstand. Die Rechteckspannung wirkt dabei als Anstoß: Jede Flanke lädt den Kreis schlagartig neu auf, in der flachen Phase dazwischen schwingt er frei aus. Weil sich das mit jeder Flanke wiederholt, steht das Bild auf dem Oszilloskop still. Eine einzige Messung genügt, weil Kondensator und Spule parallel liegen: Beide hängen an denselben zwei Knoten und haben deshalb zu jedem Zeitpunkt exakt dieselbe Spannung. Was sich unterscheidet, sind die Ströme — sie fließen gegenläufig, und genau dieses Hin- und Herschieben der Ladung ist die Schwingung.
Zu 2 und 6: Aus T = 2π · √(LC) folgt L = T² / (4π² · C). Für eine Flachspule N = 1000 ohne Kern liegt L in der Größenordnung 10 mH; mit C = 1 µF ergibt das T ≈ 0,63 ms und f₀ ≈ 1,6 kHz. Mit aufgesetztem U-Kern würde L um ein bis zwei Größenordnungen größer — dann schwingt der Kreis allerdings gar nicht mehr, siehe Zu 4.
Zu 3: Die Hochpunkte liegen nicht auf einer Geraden, sondern auf einer Exponentialfunktion:
U_max(t) = U₀ · e^(−δ·t)
Im halblogarithmischen Diagramm (ln U_max gegen t) liegen die Punkte auf einer Geraden mit der Steigung −δ; die Abklingkonstante δ lässt sich also direkt aus dem Diagramm ablesen (woher sie physikalisch kommt, steht bei Aufgabe 4). Genau das ist das Argument dafür, dass der Abfall exponentiell ist — sichtbar, bevor man rechnet.
Zu 4: Der ohmsche Widerstand ist die Ursache. Bei jedem Durchgang wird Energie in Wärme umgewandelt und steht der Schwingung nicht mehr zur Verfügung. Deshalb wird die Amplitude von Periode zu Periode um denselben Faktor kleiner — nicht um denselben Betrag; genau das ergibt die Exponentialfunktion aus Aufgabe 3. Achtung, hier ist es umgekehrt als beim Federschwinger-Analogon der Reihenschaltung: In dieser Parallelschaltung liegt der Widerstand parallel zum Schwingkreis — in der flachen Phase der Rechteckspannung wirkt der Generator wie ein Kurzschluss, so dass die 47 Ω zusammen mit seinem Innenwiderstand parallel am Kreis hängen. Dann gilt
δ = 1 / (2 · R · C) und der Kreis schwingt nur, wenn R > ½ · √(L/C)
Ein kleinerer Vorwiderstand dämpft hier also stärker. Mit R ≈ 100 Ω (47 Ω plus Innenwiderstand des Generators) und C = 1 µF wird δ ≈ 5000 1/s; die Schwingung ist deutlich sichtbar, klingt aber schnell ab — rechne mit drei bis vier ablesbaren Hochpunkten. Aus derselben Bedingung folgt L < 4 · R² · C ≈ 40 mH: Setzt man den U-Kern auf die Spule, wird L um ein bis zwei Größenordnungen größer und der Kreis schwingt gar nicht mehr. Der mit dem Multimeter gemessene Spulenwiderstand spielt dagegen kaum eine Rolle — er liegt in Reihe zu L innerhalb des Kreises und trägt nur wenig zur Dämpfung bei.
Zu 5: Ohne Widerstand wäre δ = 0, die Einhüllende also waagerecht: eine ungedämpfte harmonische Schwingung mit konstanter Amplitude, die niemals aufhört. Die Energie pendelt dann verlustfrei zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators (E_el = ½ · Q²/C) und dem magnetischen Feld der Spule (E_mag = ½ · L · I²) hin und her — nur diese beiden Bauteile speichern Energie, der Widerstand verbraucht sie. In der Realität hat aber schon der Draht der Spule selbst einen Widerstand, so dass es eine völlig ungedämpfte Schwingung nicht gibt.
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Grundgrössen:
- Frequenz und Periodendauer: f = 1 / T
Federschwinger:
- Periodendauer: T = 2π · √(m / D)
Fadenpendel:
- Periodendauer: T = 2π · √(L / g)
Schwingungsgleichung:
- Elongation: s(t) = A · sin(2π · f · t)
- Maximale Geschwindigkeit: v_max = A · 2π · f
Energie:
- Spannenergie: E_pot = ½ · D · s²
- Kinetische Energie: E_kin = ½ · m · v²
- Gesamtenergie: E_ges = ½ · D · A²
Resonanz:
- Resonanzbedingung: f_E = f₀
Lineares Kraftgesetz (eA):
- Bedingung für harmonische Schwingung: F = −D · s
Elektromagnetischer Schwingkreis:
- Thomsonsche Schwingungsgleichung: T = 2π · √(L · C)
- Eigenfrequenz: f₀ = 1 / (2π · √(L · C))
Wichtige Einheiten:
- Frequenz: 1 Hz = 1/s
- Federkonstante: 1 N/m
- Kreisfrequenz: 1 rad/s