1. Mechanische Schwingungen

Das Hookesche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Kraft und Auslenkung einer Feder:

F = D · Δx

- F = rueckstellende Kraft in Newton (N)
- D = Federkonstante in Newton pro Meter (N/m)
- Δx = Laengenaenderung der Feder in Meter (m)

Die Kraft ist proportional zur Auslenkung und zeigt stets zur Ruhelage zurueck (rueckstellende Kraft).

Zusammenhang mit der Gewichtskraft:
Haengt man eine Masse m an eine Feder, gilt im Gleichgewicht:

F_Gewicht = F_Feder

m · g = D · Δx

Daraus laesst sich die Federkonstante bestimmen:

D = (m · g) / Δx

Eine mechanische Schwingung ist eine periodische Bewegung eines Koerpers um eine Gleichgewichtslage.

Voraussetzungen fuer eine Schwingung:
1. Eine Ruhelage (Gleichgewichtslage)
2. Eine rueckstellende Kraft, die den Koerper zur Ruhelage zuruecktreibt
3. Traegheit des Koerpers (er schiesst ueber die Ruhelage hinaus)

Wichtige Groessen:

- Amplitude A = maximale Auslenkung von der Ruhelage (m)
- Periodendauer T = Zeit fuer eine vollstaendige Schwingung (s)
- Frequenz f = Anzahl der Schwingungen pro Sekunde (Hz)
- Elongation s(t) = momentane Auslenkung zur Zeit t (m)

Zusammenhang Frequenz und Periodendauer:

f = 1 / T bzw. T = 1 / f

Einheiten:
- 1 Hz (Hertz) = 1/s = eine Schwingung pro Sekunde

Ein Federschwinger (Masse an einer Feder) fuehrt eine harmonische Schwingung aus:

Periodendauer des Federschwingers:

T = 2π · √(m / D)

- T = Periodendauer in Sekunden (s)
- m = schwingende Masse in Kilogramm (kg)
- D = Federkonstante in N/m

Frequenz:

f = 1 / (2π) · √(D / m)

Wichtige Eigenschaften:
- T haengt nicht von der Amplitude ab (bei kleinen Auslenkungen)
- Groessere Masse → laengere Periodendauer (traeger)
- Groessere Federkonstante → kuerzere Periodendauer (staerkere Rueckstellkraft)

Zeitlicher Verlauf (Elongation):

s(t) = A · sin(2π · f · t) = A · sin(ω · t)

mit ω = 2π · f = 2π / T (Kreisfrequenz)

Ein Fadenpendel (Masse an einem Faden der Laenge L) ist ein weiterer harmonischer Schwinger:

Periodendauer des Fadenpendels:

T = 2π · √(L / g)

- T = Periodendauer in Sekunden (s)
- L = Fadenlaenge in Meter (m)
- g = Erdbeschleunigung = 9,81 m/s²

Frequenz:

f = 1 / (2π) · √(g / L)

Wichtige Eigenschaften:
- T haengt nur von der Fadenlaenge ab (nicht von der Masse!)
- T haengt nicht von der Amplitude ab (Naeherung fuer kleine Winkel < 10°)
- Laengerer Faden → laengere Periodendauer

Vergleich mit dem Federschwinger:

*Naeherung fuer kleine Auslenkungen

Schwingungen werden im t-s-Diagramm dargestellt (Zeit auf der x-Achse, Elongation auf der y-Achse):

Mathematische Beschreibung:

s(t) = A · sin(2π/T · t) = A · sin(2π · f · t)

Ablesen aus dem Diagramm:
- Amplitude A = Abstand zwischen Ruhelage und Maximum (oder Minimum)
- Periodendauer T = Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Maxima
- Frequenz f = 1 / T

Zusammenhaenge:
- Geschwindigkeit v(t) = A · ω · cos(ω · t) → maximal in der Ruhelage
- Beschleunigung a(t) = -A · ω² · sin(ω · t) → maximal am Umkehrpunkt

Bei einer harmonischen Schwingung wird staendig Energie zwischen kinetischer und potentieller Energie umgewandelt:

Federschwinger:
- Potentielle Energie (Spannenergie): E_pot = ½ · D · s²
- Kinetische Energie: E_kin = ½ · m · v²
- Gesamtenergie: E_ges = ½ · D · A² = konstant

Am Umkehrpunkt (s = A): E_pot = maximal, E_kin = 0
In der Ruhelage (s = 0): E_pot = 0, E_kin = maximal

Die maximale Geschwindigkeit tritt in der Ruhelage auf:

v_max = A · ω = A · 2π · f

Fadenpendel:
- Potentielle Energie (Lageenergie): E_pot = m · g · h
- Kinetische Energie: E_kin = ½ · m · v²
- h = L - L·cos(α) ≈ s²/(2L) fuer kleine Winkel

In der Realitaet werden Schwingungen durch Reibung gedaempft. Die Amplitude nimmt mit der Zeit ab:

Arten der Daempfung:
1. Schwache Daempfung: Der Koerper schwingt noch, aber die Amplitude nimmt exponentiell ab
2. Aperiodischer Grenzfall: Der Koerper kehrt ohne Schwingung schnellstmoeglich zur Ruhelage zurueck
3. Starke Daempfung (Kriechfall): Der Koerper kehrt sehr langsam zur Ruhelage zurueck

Gedaempfte Schwingung:
s(t) = A₀ · e^(-δt) · sin(ω_d · t)

- δ = Daempfungskonstante
- ω_d = Frequenz der gedaempften Schwingung (etwas kleiner als ω₀)

Eine erzwungene Schwingung entsteht, wenn ein gedaempftes System periodisch von aussen angeregt wird:

Resonanz tritt auf, wenn die Erregerfrequenz f_E gleich der Eigenfrequenz f₀ ist:

f_E = f₀ → maximale Amplitude

Resonanzkurve:
- Bei f_E << f₀: kleine Amplitude
- Bei f_E = f₀: maximale Amplitude (Resonanz)
- Bei f_E >> f₀: sehr kleine Amplitude

Beispiele fuer Resonanz:
- Schaukel (Anschwingen im richtigen Takt)
- Glas zerspringt bei passender Tonfrequenz
- Bruecken koennen bei Resonanz gefaehrlich schwingen (Tacoma-Narrows-Bruecke 1940)

In der Physik werden Zusammenhaenge oft aus Messdaten ermittelt. Dazu passt man eine mathematische Funktion an die Messpunkte an (Regression):

Wichtige Funktionstypen:

Vorgehen bei der Regression:
1. Messdaten aufnehmen und in eine Tabelle eintragen
2. Daten im Koordinatensystem auftragen
3. Funktionstyp anhand des Verlaufs identifizieren
4. Regression mit dem Taschenrechner durchfuehren
5. Parameter physikalisch interpretieren

Beispiel: Beim Fadenpendel misst man T fuer verschiedene L.
Traegt man T gegen √L auf, erhaelt man eine Gerade mit Steigung 2π/√g.

Grundgroessen:
- Frequenz und Periodendauer: f = 1 / T

Federschwinger:
- Periodendauer: T = 2π · √(m / D)

Fadenpendel:
- Periodendauer: T = 2π · √(L / g)

Schwingungsgleichung:
- Elongation: s(t) = A · sin(2π · f · t)
- Maximale Geschwindigkeit: v_max = A · 2π · f

Energie:
- Spannenergie: E_pot = ½ · D · s²
- Kinetische Energie: E_kin = ½ · m · v²
- Gesamtenergie: E_ges = ½ · D · A²

Resonanz:
- Resonanzbedingung: f_E = f₀

Wichtige Einheiten:
- Frequenz: 1 Hz = 1/s
- Federkonstante: 1 N/m
- Kreisfrequenz: 1 rad/s