Eine Welle ist die raeumliche Ausbreitung einer Stoerung (Schwingung). Dabei wird Energie transportiert, aber keine Materie.
Grundgroessen:
- Wellenlaenge λ = Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichen Schwingungszustaenden (z.B. Maximum zu Maximum) in Meter (m)
- Ausbreitungsgeschwindigkeit c = Geschwindigkeit der Wellenfront in m/s
- Frequenz f = Anzahl der Schwingungen pro Sekunde in Hertz (Hz)
- Amplitude A = maximale Auslenkung in Meter (m)
Grundgleichung der Wellenlehre:
c = λ · f
oder aequivalent: c = λ / T
Interpretation: In einer Periodendauer T breitet sich die Welle um genau eine Wellenlaenge λ aus.
Loesung:
- Gegeben: f = 440 Hz, λ = 0,773 m
- Formel: c = λ · f
- Berechnung: c = 0,773 · 440 = 340,1 m/s
Antwort: Die Schallgeschwindigkeit betraegt etwa 340 m/s.
Loesung:
- Gegeben: f = 100 MHz = 10⁸ Hz, c = 3·10⁸ m/s
- Formel: λ = c / f
- Berechnung: λ = 3·10⁸ / 10⁸ = 3 m
Antwort: Die Wellenlaenge betraegt 3 Meter.
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Bei einer transversalen Welle schwingt das Medium senkrecht zur Ausbreitungsrichtung:
Beispiele:
- Seilwelle (Seil wird von oben nach unten bewegt, Welle laeuft nach rechts)
- Wasserwellen (naeherungsweise)
- Elektromagnetische Wellen (Licht)
Wichtige Eigenschaft: Transversale Wellen sind polarisierbar - die Schwingungsebene kann eingeschraenkt werden.
Bei einer longitudinalen Welle schwingt das Medium parallel zur Ausbreitungsrichtung:
Beispiele:
- Schallwellen (Luftmolekuele schwingen in Ausbreitungsrichtung)
- Druckwellen
- Erdbebenwellen (P-Wellen)
Darstellung: Bereiche hoher Dichte (Verdichtungen) und niedriger Dichte (Verduennungen) wechseln sich ab.
Vergleich:
| Eigenschaft | Transversal | Longitudinal |
|---|---|---|
| Schwingungsrichtung | senkrecht | parallel |
| Polarisierbar? | Ja | Nein |
| Beispiel | Seilwelle, Licht | Schall |
| Ausbreitung in | Festkoerpern, Vakuum (EM) | Gasen, Fluessigkeiten, Festkoerpern |
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Unpolarisiertes Licht schwingt in allen Richtungen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Linear polarisiertes Licht schwingt nur in einer Ebene.
Erzeugung polarisierten Lichts:
1. Polarisationsfilter: Laesst nur eine Schwingungsrichtung durch
2. Reflexion: Bei Reflexion unter dem Brewster-Winkel
3. Streuung: Himmelsblau ist teilweise polarisiert
Gesetz von Malus:
Faellt polarisiertes Licht auf einen zweiten Polarisator (Analysator) unter dem Winkel α, gilt:
I = I₀ · cos²(α)
- Bei α = 0°: I = I₀ (volle Durchlassigkeit)
- Bei α = 90°: I = 0 (kein Licht kommt durch)
Anwendungen:
- Polarisationsbrillen (Blendschutz)
- 3D-Kino (verschiedene Polarisationsrichtungen fuer linkes und rechtes Auge)
- LCD-Bildschirme
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Wellen werden reflektiert, wenn sie auf ein Hindernis oder eine Grenzflaeche treffen:
Reflexion am festen Ende:
- Die Welle wird reflektiert und invertiert (Phasensprung um 180°)
- Ein Wellenberg wird als Wellental reflektiert
Reflexion am losen Ende:
- Die Welle wird reflektiert, aber nicht invertiert (kein Phasensprung)
- Ein Wellenberg bleibt ein Wellenberg
Reflexionsgesetz:
Einfallswinkel = Ausfallswinkel (α = β)
Dies gilt fuer alle Wellenarten (Licht, Schall, Wasserwellen).
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Eine stehende Welle entsteht durch Ueberlagerung einer hinlaufenden und einer reflektierten Welle gleicher Frequenz und Amplitude:
Eigenschaften:
- Es gibt feste Punkte, die nie schwingen: Knoten
- Dazwischen schwingen Punkte mit maximaler Amplitude: Baeuche
- Abstand zwischen zwei Knoten: λ/2
Resonanzbedingungen (festes Ende beidseitig):
L = n · λ/2 (n = 1, 2, 3, ...)
- n = 1: Grundschwingung (1. Harmonische)
- n = 2: 1. Oberschwingung (2. Harmonische)
- n = 3: 2. Oberschwingung (3. Harmonische)
Die zugehoerigen Frequenzen sind: f_n = n · f₁ = n · c / (2L)
Beispiele:
- Gitarrensaite (festes Ende beidseitig)
- Orgelpfeife (offenes und geschlossenes Ende)
- Mikrowellenherd (stehende elektromagnetische Wellen)
Loesung:
- Gegeben: L = 0,65 m, c = 260 m/s
- Grundschwingung: L = λ/2, also λ = 2L = 1,3 m
- Formel: f = c / λ
- Berechnung: f = 260 / 1,3 = 200 Hz
Antwort: Die Grundfrequenz betraegt 200 Hz.
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Konstruktive Interferenz:
Treffen zwei Wellenberge aufeinander, verstaerken sie sich:
- Gangunterschied: Δs = n · λ (n = 0, 1, 2, ...)
- Ergebnis: maximale Amplitude (A_ges = A₁ + A₂)
Destruktive Interferenz:
Treffen ein Wellenberg und ein Wellental aufeinander, loeschen sie sich aus:
- Gangunterschied: Δs = (n + ½) · λ (n = 0, 1, 2, ...)
- Ergebnis: Amplitude null (bei gleichen Amplituden)
Der Gangunterschied Δs ist der Unterschied der Wege, die zwei Wellen von ihren Quellen bis zum Beobachtungspunkt zuruecklegen.
Beim Doppelspaltexperiment trifft eine Welle (z.B. Licht) auf zwei enge Spalte. Hinter dem Doppelspalt ueberlagern sich die Teilwellen und erzeugen ein Interferenzmuster:
Maxima (helle Streifen / konstruktive Interferenz):
sin(α_n) = n · λ / d
Minima (dunkle Streifen / destruktive Interferenz):
sin(α_n) = (n + ½) · λ / d
- n = Ordnung (0, 1, 2, ...)
- λ = Wellenlaenge
- d = Spaltabstand
- α_n = Beugungswinkel
Fuer kleine Winkel (Kleinwinkelnaeherung):
y_n = n · λ · L / d
- y_n = Abstand des n-ten Maximums von der Mitte
- L = Abstand Doppelspalt - Schirm
Bedeutung: Der Doppelspaltversuch beweist die Wellennatur des Lichts (und spaeter auch die Wellennatur von Teilchen!).
Loesung:
- Gegeben: λ = 633 nm = 633·10⁻⁹ m, d = 0,1 mm = 10⁻⁴ m, L = 2 m
- Formel: y₁ = 1 · λ · L / d
- Berechnung: y₁ = 633·10⁻⁹ · 2 / 10⁻⁴ = 1266·10⁻⁹ / 10⁻⁴ = 0,01266 m ≈ 1,27 cm
Antwort: Das 1. Maximum liegt etwa 1,3 cm neben dem zentralen Maximum.
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Ein Beugungsgitter besteht aus vielen parallelen Spalten mit gleichem Abstand g (Gitterkonstante):
Maximabedingung (gleich wie beim Doppelspalt):
sin(α_n) = n · λ / g
- g = Gitterkonstante (Abstand zwischen zwei Spalten)
- Oft angegeben als Strichzahl: z.B. 600 Linien/mm → g = 1/600 mm
Vorteile gegenueber dem Doppelspalt:
- Maxima sind viel schaerfer (schmaler)
- Maxima sind heller (mehr Licht kommt durch)
- Genauere Wellenlaengenbestimmung
Anwendung: Spektroskopie
Weisses Licht wird in seine Farben zerlegt (jede Wellenlaenge hat einen anderen Beugungswinkel). So kann man z.B. die Zusammensetzung von Sternenlicht analysieren.
Loesung:
- Gegeben: 500 Linien/mm → g = 1/500 mm = 2·10⁻⁶ m, λ = 550·10⁻⁹ m, n = 1
- Formel: sin(α) = n · λ / g
- Berechnung: sin(α) = 1 · 550·10⁻⁹ / (2·10⁻⁶) = 0,275
- α = arcsin(0,275) = 15,96°
Antwort: Das Maximum 1. Ordnung erscheint unter einem Winkel von etwa 16°.
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Das Michelson-Interferometer nutzt Interferenz zur Praezisionsmessung von Laengen und Wellenlaengen:
Aufbau:
1. Lichtquelle (z.B. Laser)
2. Strahlteiler (halbdurchlaessiger Spiegel): Teilt den Strahl in zwei Teilstrahlen
3. Spiegel 1 (fest): Reflektiert Teilstrahl 1 zurueck
4. Spiegel 2 (verschiebbar): Reflektiert Teilstrahl 2 zurueck
5. Detektor/Schirm: Hier ueberlagern sich beide Teilstrahlen
Funktionsweise:
- Beide Teilstrahlen legen unterschiedliche Wege zurueck
- Der Wegunterschied bestimmt, ob konstruktive oder destruktive Interferenz auftritt
- Verschiebt man Spiegel 2 um Δd, aendert sich der Wegunterschied um 2·Δd
Wechsel zwischen Maximum und Minimum:
Verschiebt man den Spiegel um λ/2, wechselt das Interferenzbild einmal zwischen hell und dunkel.
Historische Bedeutung:
Das Michelson-Morley-Experiment (1887) sollte die Geschwindigkeit der Erde relativ zum "Aether" messen. Das Ergebnis war negativ - es gibt keinen Aether! Dies ebnete den Weg fuer Einsteins Spezielle Relativitaetstheorie.
Loesung:
- Gegeben: λ = 632,8 nm, 100 Wechsel
- Pro Wechsel wird der Spiegel um λ/2 verschoben
- Δd = 100 · λ/2 = 50 · 632,8 nm = 31.640 nm = 31,64 μm
Antwort: Der Spiegel wurde um etwa 31,6 μm (Mikrometer) verschoben.
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Wenn zwei Lautsprecher den gleichen Ton abstrahlen, entstehen im Raum Bereiche mit laeuterem und leiserem Schall:
Beobachtungen:
- An manchen Stellen ist der Schall besonders laut (konstruktive Interferenz)
- An anderen Stellen ist er kaum hoerbar (destruktive Interferenz)
- Das Muster haengt von der Frequenz und dem Abstand der Quellen ab
Knotenlinien:
Auf einer Knotenlinie ist der Gangunterschied immer Δs = (n + ½) · λ. Hier herrscht dauerhaft destruktive Interferenz.
Bauchlinie:
Auf einer Bauchlinie ist der Gangunterschied Δs = n · λ. Hier verstaerkt sich der Schall.
Anwendung: Dieses Prinzip wird bei Active Noise Cancelling (ANC) in Kopfhoerern genutzt: Ein Gegenschall loescht den Laerm durch destruktive Interferenz aus.
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Die Bragg-Reflexion beschreibt die Beugung von Roentgenstrahlen an den Netzebenen eines Kristallgitters:
Bragg-Gleichung:
2d · sin(θ) = n · λ
- d = Netzebenenabstand (Abstand zwischen den Atomschichten)
- θ = Glanzwinkel (Winkel zwischen einfallendem Strahl und Netzebene)
- n = Beugungsordnung (1, 2, 3, ...)
- λ = Wellenlaenge der Roentgenstrahlung
Herleitung:
Roentgenstrahlen werden an verschiedenen Netzebenen reflektiert. Der Gangunterschied zwischen Strahlen an benachbarten Ebenen betraegt 2d·sin(θ). Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn dieser Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlaenge ist.
Anwendungen:
- Roentgenstrukturanalyse: Bestimmung von Kristallstrukturen
- Materialwissenschaft: Identifikation von Mineralien und Verbindungen
- Biologie: Aufklaerung der DNA-Doppelhelix durch Rosalind Franklin (1952)
Loesung:
- Gegeben: λ = 0,154 nm, θ = 15,9°, n = 1
- Formel: d = n · λ / (2 · sin(θ))
- Berechnung: d = 1 · 0,154 / (2 · sin(15,9°)) = 0,154 / (2 · 0,274) = 0,154 / 0,548 = 0,281 nm
Antwort: Der Netzebenenabstand betraegt etwa 0,28 nm (typisch fuer NaCl).
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Stehende Wellen:
- Resonanz: L = n · λ/2
- Frequenzen: f_n = n · c / (2L)
Interferenz:
- Konstruktiv: Δs = n · λ
- Destruktiv: Δs = (n + ½) · λ
Doppelspalt und Gitter:
- Maxima: sin(α_n) = n · λ / d
- Kleinwinkel: y_n = n · λ · L / d
Michelson-Interferometer:
- Spiegelverschiebung: Δd = N · λ / 2
Bragg-Reflexion:
- 2d · sin(θ) = n · λ
Polarisation:
- Gesetz von Malus: I = I₀ · cos²(α)
Wichtige Einheiten:
- Wellenlaenge: 1 nm = 10⁻⁹ m
- Frequenz: 1 Hz = 1/s
- Schallgeschwindigkeit in Luft: ~340 m/s
- Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: c = 3·10⁸ m/s