1. Wellen

Eine Welle ist die räumliche Ausbreitung einer Störung (Schwingung). Dabei wird Energie transportiert, aber keine Materie.

Grundgrössen:
- Wellenlänge λ = Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichen Schwingungszuständen (z.B. Maximum zu Maximum) in Meter (m)
- Ausbreitungsgeschwindigkeit c = Geschwindigkeit der Wellenfront in m/s
- Frequenz f = Anzahl der Schwingungen pro Sekunde in Hertz (Hz)
- Amplitude A = maximale Auslenkung in Meter (m)

Grundgleichung der Wellenlehre:

c = λ · f

oder äquivalent: c = λ / T

Interpretation: In einer Periodendauer T breitet sich die Welle um genau eine Wellenlänge λ aus.

Bei einer transversalen Welle schwingt das Medium senkrecht zur Ausbreitungsrichtung:

Beispiele:
- Seilwelle (Seil wird von oben nach unten bewegt, Welle laeuft nach rechts)
- Wasserwellen (näherungsweise)
- Elektromagnetische Wellen (Licht)

Wichtige Eigenschaft: Transversale Wellen sind polarisierbar - die Schwingungsebene kann eingeschränkt werden.

Bei einer longitudinalen Welle schwingt das Medium parallel zur Ausbreitungsrichtung:

Beispiele:
- Schallwellen (Luftmoleküle schwingen in Ausbreitungsrichtung)
- Druckwellen
- Erdbebenwellen (P-Wellen)

Darstellung: Bereiche hoher Dichte (Verdichtungen) und niedriger Dichte (Verdünnungen) wechseln sich ab.

Vergleich:

Unpolarisiertes Licht schwingt in allen Richtungen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

Linear polarisiertes Licht schwingt nur in einer Ebene.

Erzeugung polarisierten Lichts:
1. Polarisationsfilter: Lässt nur eine Schwingungsrichtung durch
2. Reflexion: Bei Reflexion unter dem Brewster-Winkel
3. Streuung: Himmelsblau ist teilweise polarisiert

Gesetz von Malus:
Faellt polarisiertes Licht auf einen zweiten Polarisator (Analysator) unter dem Winkel α, gilt:

I = I₀ · cos²(α)

- Bei α = 0°: I = I₀ (volle Durchlässigkeit)
- Bei α = 90°: I = 0 (kein Licht kommt durch)

Anwendungen:
- Polarisationsbrillen (Blendschutz)
- 3D-Kino (verschiedene Polarisationsrichtungen für linkes und rechtes Auge)
- LCD-Bildschirme

Wellen werden reflektiert, wenn sie auf ein Hindernis oder eine Grenzfläche treffen:

Reflexion am festen Ende:
- Die Welle wird reflektiert und invertiert (Phasensprung um 180°)
- Ein Wellenberg wird als Wellental reflektiert

Reflexion am losen Ende:
- Die Welle wird reflektiert, aber nicht invertiert (kein Phasensprung)
- Ein Wellenberg bleibt ein Wellenberg

Reflexionsgesetz:

Einfallswinkel = Ausfallswinkel (α = β)

Dies gilt für alle Wellenarten (Licht, Schall, Wasserwellen).

Eine stehende Welle entsteht durch Überlagerung einer hinlaufenden und einer reflektierten Welle gleicher Frequenz und Amplitude:

Eigenschaften:
- Es gibt feste Punkte, die nie schwingen: Knoten
- Dazwischen schwingen Punkte mit maximaler Amplitude: Bäuche
- Abstand zwischen zwei Knoten: λ/2

Resonanzbedingungen (festes Ende beidseitig):

L = n · λ/2 (n = 1, 2, 3, ...)

- n = 1: Grundschwingung (1. Harmonische)
- n = 2: 1. Oberschwingung (2. Harmonische)
- n = 3: 2. Oberschwingung (3. Harmonische)

Die zugehörigen Frequenzen sind: f_n = n · f₁ = n · c / (2L)

Beispiele:
- Gitarrensaite (festes Ende beidseitig)
- Orgelpfeife (offenes und geschlossenes Ende)
- Mikrowellenherd (stehende elektromagnetische Wellen)

Das Huygens'sche Prinzip beschreibt, wie Wellen sich ausbreiten: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen kugelförmigen Elementarwelle. Die neue Wellenfront ergibt sich als Einhüllende aller Elementarwellen.

Das Superpositionsprinzip (Überlagerungsprinzip) besagt: Treffen mehrere Wellen gleichzeitig auf denselben Punkt, so ist die resultierende Auslenkung gleich der Summe der einzelnen Auslenkungen.

Dieses Prinzip erklärt:
- Beugung: Wellen breiten sich auch hinter Hindernissen aus (Elementarwellen um die Kante)
- Interferenz: Wo Elementarwellen verschiedener Quellen zusammentreffen, überlagern sie sich (Superpositionsprinzip)
- Reflexion und Brechung: Änderung der Ausbreitungsrichtung an Grenzflächen

Konstruktive Interferenz:
Treffen zwei Wellenberge aufeinander, verstärken sie sich:
- Gangunterschied: Δs = n · λ (n = 0, 1, 2, ...)
- Ergebnis: maximale Amplitude (A_ges = A₁ + A₂)

Destruktive Interferenz:
Treffen ein Wellenberg und ein Wellental aufeinander, löschen sie sich aus:
- Gangunterschied: Δs = (n + ½) · λ (n = 0, 1, 2, ...)
- Ergebnis: Amplitude null (bei gleichen Amplituden)

Der Gangunterschied Δs ist der Unterschied der Wege, die zwei Wellen von ihren Quellen bis zum Beobachtungspunkt zurücklegen.

Beim Doppelspaltexperiment trifft eine Welle (z.B. Licht) auf zwei enge Spalte. Hinter dem Doppelspalt überlagern sich die Teilwellen und erzeugen ein Interferenzmuster:

Maxima (helle Streifen / konstruktive Interferenz):

sin(α_n) = n · λ / d

Minima (dunkle Streifen / destruktive Interferenz):

sin(α_n) = (n + ½) · λ / d

- n = Ordnung (0, 1, 2, ...)
- λ = Wellenlänge
- d = Spaltabstand
- α_n = Beugungswinkel

Für kleine Winkel (Kleinwinkelnäherung):

y_n = n · λ · L / d

- y_n = Abstand des n-ten Maximums von der Mitte
- L = Abstand Doppelspalt - Schirm

Bedeutung: Der Doppelspaltversuch beweist die Wellennatur des Lichts (und später auch die Wellennatur von Teilchen!).

Ein Beugungsgitter besteht aus vielen parallelen Spalten mit gleichem Abstand g (Gitterkonstante):

Maximabedingung (gleich wie beim Doppelspalt):

sin(α_n) = n · λ / g

- g = Gitterkonstante (Abstand zwischen zwei Spalten)
- Oft angegeben als Strichzahl: z.B. 600 Linien/mm → g = 1/600 mm

Vorteile gegenueber dem Doppelspalt:
- Maxima sind viel schaerfer (schmaler)
- Maxima sind heller (mehr Licht kommt durch)
- Genauere Wellenlängenbestimmung

Anwendung: Spektroskopie
Weisses Licht wird in seine Farben zerlegt (jede Wellenlänge hat einen anderen Beugungswinkel). So kann man z.B. die Zusammensetzung von Sternenlicht analysieren.

Das Michelson-Interferometer nutzt Interferenz zur Präzisionsmessung von Längen und Wellenlängen:

Aufbau:
1. Lichtquelle (z.B. Laser)
2. Strahlteiler (halbdurchlässiger Spiegel): Teilt den Strahl in zwei Teilstrahlen
3. Spiegel 1 (fest): Reflektiert Teilstrahl 1 zurück
4. Spiegel 2 (verschiebbar): Reflektiert Teilstrahl 2 zurück
5. Detektor/Schirm: Hier überlagern sich beide Teilstrahlen

Funktionsweise:
- Beide Teilstrahlen legen unterschiedliche Wege zurück
- Der Wegunterschied bestimmt, ob konstruktive oder destruktive Interferenz auftritt
- Verschiebt man Spiegel 2 um Δd, ändert sich der Wegunterschied um 2·Δd

Wechsel zwischen Maximum und Minimum:
Verschiebt man den Spiegel um λ/2, wechselt das Interferenzbild einmal zwischen hell und dunkel.

Historische Bedeutung:
Das Michelson-Morley-Experiment (1887) sollte die Geschwindigkeit der Erde relativ zum "Äther" messen. Das Ergebnis war negativ - es gibt keinen Äther! Dies ebnete den Weg für Einsteins Spezielle Relativitätstheorie.

Wenn zwei Lautsprecher den gleichen Ton abstrahlen, entstehen im Raum Bereiche mit lauterem und leiserem Schall:

Beobachtungen:
- An manchen Stellen ist der Schall besonders laut (konstruktive Interferenz)
- An anderen Stellen ist er kaum hörbar (destruktive Interferenz)
- Das Muster haengt von der Frequenz und dem Abstand der Quellen ab

Knotenlinien:
Auf einer Knotenlinie ist der Gangunterschied immer Δs = (n + ½) · λ. Hier herrscht dauerhaft destruktive Interferenz.

Bauchlinie:
Auf einer Bauchlinie ist der Gangunterschied Δs = n · λ. Hier verstärkt sich der Schall.

Anwendung: Dieses Prinzip wird bei Active Noise Cancelling (ANC) in Kopfhoerern genutzt: Ein Gegenschall löscht den Lärm durch destruktive Interferenz aus.

Die Bragg-Reflexion beschreibt die Beugung von Röntgenstrahlen an den Netzebenen eines Kristallgitters:

Bragg-Gleichung:

2d · sin(θ) = n · λ

- d = Netzebenenabstand (Abstand zwischen den Atomschichten)
- θ = Glanzwinkel (Winkel zwischen einfallendem Strahl und Netzebene)
- n = Beugungsordnung (1, 2, 3, ...)
- λ = Wellenlänge der Röntgenstrahlung

Herleitung:
Röntgenstrahlen werden an verschiedenen Netzebenen reflektiert. Der Gangunterschied zwischen Strahlen an benachbarten Ebenen beträgt 2d·sin(θ). Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn dieser Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist.

Anwendungen:
- Röntgenstrukturanalyse: Bestimmung von Kristallstrukturen
- Materialwissenschaft: Identifikation von Mineralien und Verbindungen
- Biologie: Aufklärung der DNA-Doppelhelix durch Rosalind Franklin (1952)

Beim Einzelspalt wird eine Welle an einem engen Spalt der Breite b gebeugt. Das entstehende Intensitätsmuster zeigt ein breites Hauptmaximum und Minima bei:

sin(α_n) = n · λ / b (n = 1, 2, 3, …)

- b = Spaltbreite
- α_n = Winkel des n-ten Minimums zur optischen Achse

Vergleich Einzelspalt – Doppelspalt:

Merke: Je schmäler der Spalt (kleines b), desto breiter das Hauptmaximum – Beugung nimmt zu.

Alle elektromagnetischen Wellen breiten sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit c = 3·10⁸ m/s aus. Sie unterscheiden sich in Wellenlänge und Frequenz:

Sichtbares Licht im Detail:
- Violett: ~380–440 nm
- Blau: ~440–490 nm
- Gruen: ~490–560 nm
- Gelb/Orange: ~560–620 nm
- Rot: ~620–750 nm

Zusammenhang mit Photonenenergie: Mit kürzerer Wellenlänge (höhere Frequenz) steigt die Energie der Photonen: E = h · f (Kurs 5: Quantenobjekte).

Eine CD wirkt als Reflexionsgitter: Die spiralförmig angeordneten Datenspuren funktionieren als Gitterlinien. Der Spurabstand entspricht der Gitterkonstante g.

Typische Werte:
- CD: g ≈ 1,6 μm
- DVD: g ≈ 0,74 μm

Da die Gitterformel auch für Reflexionsgitter gilt, lässt sich der Spurabstand aus dem Beugungswinkel bestimmen:

g = n · λ / sin(α_n)

Vorgehen im Experiment:
1. Laser bekannter Wellenlänge auf CD/DVD richten
2. Beugungswinkel α₁ des 1. Maximums messen
3. Spurabstand berechnen: g = λ / sin(α₁)

Mit einem Ultraschall-Experiment lässt sich die Wellenlänge von Schall direkt messen:

Aufbau:
1. Ultraschall-Sender (z. B. 40 kHz) auf einer Seite
2. Reflektor (Metallplatte) gegenüber
3. Mikrofon zum Nachweis der Knoten und Bäuche

Zwischen Sender und Reflektor bildet sich eine stehende Welle. An den Knoten ist die Schallintensität minimal.

Auswertung:
- Abstand zweier benachbarter Knoten: Δx = λ/2
- Daraus: λ = 2 · Δx
- Mit der Frequenz f des Senders: c = f · λ

Stehende Wellen:
- Resonanz: L = n · λ/2
- Frequenzen: f_n = n · c / (2L)

Interferenz:
- Konstruktiv: Δs = n · λ
- Destruktiv: Δs = (n + ½) · λ

Doppelspalt und Gitter:
- Maxima: sin(α_n) = n · λ / d
- Kleinwinkel: y_n = n · λ · L / d

Michelson-Interferometer:
- Spiegelverschiebung: Δd = N · λ / 2

Bragg-Reflexion:
- 2d · sin(θ) = n · λ

Einzelspalt (eA):
- Minima: sin(α_n) = n · λ / b (b = Spaltbreite)

CD/DVD-Spurabstand (eA):
- g = n · λ / sin(α_n)

Ultraschall-Stehwellen:
- Wellenlänge: λ = 2 · Δx (Δx = Knotenabstand)

Polarisation:
- Gesetz von Malus: I = I₀ · cos²(α)

Wichtige Einheiten:
- Wellenlänge: 1 nm = 10⁻⁹ m
- Frequenz: 1 Hz = 1/s
- Schallgeschwindigkeit in Luft: ~340 m/s
- Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: c = 3·10⁸ m/s