Die binomischen Formeln sind wichtige Rechenregeln für das Ausmultiplizieren von Klammern. Sie helfen uns, bestimmte Terme schneller zu vereinfachen.
Die drei binomischen Formeln:
1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. Binomische Formel: (a + b)(a - b) = a² - b²
Merkhilfen:
- 1. BF: "Plus ergibt Plus" (beide Vorzeichen positiv)
- 2. BF: "Minus ergibt Minus" (mittlerer Term negativ)
- 3. BF: "Differenz von Quadraten" (nur zwei Terme)
Lösung:
Mit der 1. binomischen Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Hier ist a = x und b = 3:
- a² = x²
- 2ab = 2 · x · 3 = 6x
- b² = 3² = 9
Ergebnis: (x + 3)² = x² + 6x + 9
Lösung:
Mit der 2. binomischen Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b²
Hier ist a = 2x und b = 5:
- a² = (2x)² = 4x²
- 2ab = 2 · 2x · 5 = 20x
- b² = 5² = 25
Ergebnis: (2x - 5)² = 4x² - 20x + 25
Lösung:
Mit der 3. binomischen Formel: (a + b)(a - b) = a² - b²
Hier ist a = x und b = 4:
- a² = x²
- b² = 4² = 16
Ergebnis: (x + 4)(x - 4) = x² - 16
Vom Term zur Klammer:
- a² + 2ab + b² → (a + b)²
- a² - 2ab + b² → (a - b)²
- a² - b² → (a + b)(a - b)
Erkennungsmerkmale:
1. Drei Terme mit Quadraten am Anfang und Ende → 1. oder 2. BF
2. Zwei Terme, beide Quadrate mit Minus → 3. BF
3. Mittlerer Term ist doppeltes Produkt der Wurzeln
Lösung:
1. Erkenne die Quadrate: x² und 25 = 5²
2. Prüfe den mittleren Term: 2 · x · 5 = 10x ✓
3. Wende 1. BF rückwärts an: (x + 5)²
Probe: (x + 5)² = x² + 10x + 25 ✓
Lösung:
1. Erkenne die Quadrate: 9x² = (3x)² und 16 = 4²
2. Differenz von Quadraten → 3. BF
3. Wende 3. BF rückwärts an: (3x + 4)(3x - 4)
Probe: (3x + 4)(3x - 4) = 9x² - 16 ✓
Neben den binomischen Formeln können wir auch gemeinsame Faktoren vor die Klammer ziehen. Dies ist die Umkehrung des Distributivgesetzes.
Vorgehen:
1. Finde den größten gemeinsamen Faktor aller Terme
2. Teile jeden Term durch diesen Faktor
3. Schreibe den Faktor vor die Klammer
Beispiel:
6x + 9 = 3(2x + 3)
Der größte gemeinsame Faktor ist 3.
Lösung:
1. Finde den größten gemeinsamen Faktor:
- Zahlen: ggT(12, 18) = 6
- Variablen: x (kommt in beiden vor)
- Gemeinsamer Faktor: 6x
2. Teile jeden Term:
- 12x² : 6x = 2x
- 18x : 6x = 3
Ergebnis: 12x² + 18x = 6x(2x + 3)
Probe: 6x · 2x + 6x · 3 = 12x² + 18x ✓
Vereinfache oder klammere aus (wähle die passende Methode):
a) (3x + 2)²
b) x² - 14x + 49
c) (5a - 3)(5a + 3)
d) 16m² - 25
e) 4x² + 20x + 25
f) 18x² - 27x
Manchmal müssen binomische Formeln und Ausklammern kombiniert werden:
Beispiel: Vereinfache 2(x + 3)² - 2x²
Lösung:
1. Binomische Formel: 2(x² + 6x + 9) - 2x²
2. Ausmultiplizieren: 2x² + 12x + 18 - 2x²
3. Zusammenfassen: 12x + 18
4. Ausklammern: 6(2x + 3)
Vereinfache vollständig:
a) 3(x + 2)² - 3(x - 2)²
b) (2a + 3)² - (2a - 3)²
c) 5(m + 1)² - 5(m² + 2m)
d) (x + 5)(x - 5) + 25