Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, bei der zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.
Äquivalenzumformungen sind Umformungen, die den Wert der Lösung nicht verändern. Sie helfen uns, die Gleichung zu vereinfachen und nach der Variable aufzulösen.
Erlaubte Äquivalenzumformungen:
1. Auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren
- x + 5 = 12 | -5
- x = 7
2. Beide Seiten mit der gleichen Zahl (≠ 0) multiplizieren oder dividieren
- 3x = 15 | :3
- x = 5
Ziel: Isoliere die Variable auf einer Seite (meist links)
Lösung:
2x + 7 = 19 | -7 (7 auf beiden Seiten subtrahieren)
2x = 12 | :2 (beide Seiten durch 2 dividieren)
x = 6Probe: 2·6 + 7 = 12 + 7 = 19 ✓
Bei Gleichungen mit Klammern müssen wir zuerst die Klammern auflösen, bevor wir die Äquivalenzumformungen anwenden.
Vorgehen:
1. Klammern auflösen (Distributivgesetz)
2. Gleichartige Terme zusammenfassen
3. Variable auf eine Seite bringen
4. Gleichung nach der Variable auflösen
5. Probe durchführen
Lösung:
3(x + 2) = 2(x - 1) + 11 (Klammern auflösen)
3x + 6 = 2x - 2 + 11 (Zusammenfassen)
3x + 6 = 2x + 9 | -2x
x + 6 = 9 | -6
x = 3Probe: 3(3 + 2) = 3·5 = 15 und 2(3 - 1) + 11 = 2·2 + 11 = 15 ✓
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr linearen Gleichungen mit mehreren Variablen. Die Lösung ist das Wertepaar (oder -tupel), das alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt.
Beispiel eines linearen Gleichungssystems:
(I) y = 2x + 1
(II) y = -x + 4Grafische Lösung:
Jede Gleichung stellt eine Gerade dar. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Gleichungssystems.
Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt S(1, 3).
Probe:
- Gleichung (I): y = 2·1 + 1 = 3 ✓
- Gleichung (II): y = -1 + 4 = 3 ✓
Lösung: x = 1, y = 3
Beim Gleichsetzungsverfahren lösen wir beide Gleichungen nach derselben Variable auf und setzen sie gleich.
Vorgehen:
1. Beide Gleichungen nach y (oder x) auflösen
2. Die rechten Seiten gleichsetzen
3. Nach x (oder y) auflösen
4. Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen
5. Probe in beiden Gleichungen
(I) 2x + y = 8
(II) x - y = 1Lösung:
Schritt 1: Nach y auflösen
(I) y = 8 - 2x
(II) y = x - 1
Schritt 2: Gleichsetzen
8 - 2x = x - 1
Schritt 3: Nach x auflösen
8 - 2x = x - 1 | +2x
8 = 3x - 1 | +1
9 = 3x | :3
x = 3
Schritt 4: y berechnen (in Gleichung II einsetzen)
y = 3 - 1 = 2Lösung: x = 3, y = 2
Probe: (I) 2·3 + 2 = 8 ✓ und (II) 3 - 2 = 1 ✓
Beim Einsetzungsverfahren lösen wir eine Gleichung nach einer Variable auf und setzen das Ergebnis in die andere Gleichung ein.
Vorgehen:
1. Eine Gleichung nach einer Variable auflösen
2. In die andere Gleichung einsetzen
3. Gleichung mit einer Variable lösen
4. Wert zurück einsetzen
5. Probe
(I) x = 2y + 1
(II) 3x + 2y = 13Lösung:
Schritt 1: x ist bereits aufgelöst in (I)
Schritt 2: In (II) einsetzen
3(2y + 1) + 2y = 13
Schritt 3: Auflösen
6y + 3 + 2y = 13
8y + 3 = 13 | -3
8y = 10 | :8
y = 1.25
Schritt 4: x berechnen (in I einsetzen)
x = 2·1.25 + 1 = 3.5Lösung: x = 3.5, y = 1.25
Beim Additionsverfahren addieren oder subtrahieren wir die Gleichungen so, dass eine Variable wegfällt.
Vorgehen:
1. Gleichungen ggf. so umformen, dass beim Addieren/Subtrahieren eine Variable wegfällt
2. Gleichungen addieren oder subtrahieren
3. Nach der verbleibenden Variable auflösen
4. Wert zurück einsetzen
5. Probe
(I) 2x + 3y = 13
(II) 2x - y = 5Lösung:
Schritt 1: Gleichungen subtrahieren (I) - (II)
2x + 3y = 13
- (2x - y = 5)
--------------
4y = 8
Schritt 2: Nach y auflösen
4y = 8 | :4
y = 2
Schritt 3: y in (II) einsetzen
2x - 2 = 5 | +2
2x = 7 | :2
x = 3.5Lösung: x = 3.5, y = 2
Löse die folgenden Gleichungssysteme mit dem Verfahren deiner Wahl:
a) y = 3x - 2 und y = -x + 6
b) 2x + y = 9 und x - y = 3
c) 3x + 2y = 11 und 2x + 3y = 9
d) x = 2y + 1 und 3x - 4y = 7
e) 5x + 3y = 19 und 2x - 3y = 2
Es gibt besondere Fälle bei Gleichungssystemen:
1. Keine Lösung: Die Geraden sind parallel (gleiche Steigung, verschiedene y-Achsenabschnitte)
y = 2x + 1
y = 2x + 52. Unendlich viele Lösungen: Die Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade
y = 2x + 1
2y = 4x + 2