Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für wiederholte Multiplikation.
Schreibweise: aⁿ
- a = Basis (die Zahl, die multipliziert wird)
- n = Exponent (wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird)
Beispiele:
- 2³ = 2 · 2 · 2 = 8
- 5² = 5 · 5 = 25
- 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
Sprechweise:
- 2³ spricht man "zwei hoch drei"
- aⁿ spricht man "a hoch n"
a) 4²
b) 2⁵
c) 10³
Lösung:
a) 4² = 4 · 4 = 16
b) 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
c) 10³ = 10 · 10 · 10 = 1000
Potenzen können auch negative Exponenten und den Exponenten Null haben.
Besondere Fälle:
1. Exponent Null: a⁰ = 1 (für alle a ≠ 0)
- 5⁰ = 1
- 100⁰ = 1
2. Negative Exponenten: a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
- 5⁻² = 1/5² = 1/25
Merke: Ein negativer Exponent bedeutet "Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten"
a) 10⁻²
b) 2⁻⁴
Lösung:
a) 10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0.01
b) 2⁻⁴ = 1/2⁴ = 1/16 = 0.0625
Grundform:
- √a = a^(1/2)
- ³√a = a^(1/3)
- ⁿ√a = a^(1/n)
Beispiele:
- √9 = 9^(1/2) = 3
- ³√8 = 8^(1/3) = 2
- √16 = 16^(1/2) = 4
Allgemein: ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)
Beispiel: √(x³) = x^(3/2)
a) √x
b) ³√(x²)
c) √(a⁵)
Lösung:
a) √x = x^(1/2)
b) ³√(x²) = x^(2/3)
c) √(a⁵) = a^(5/2)
Die wichtigsten Potenzgesetze:
1. Multiplikation (gleiche Basis): aⁿ · aᵐ = a^(n+m)
- x³ · x² = x⁵
- 2⁴ · 2³ = 2⁷
2. Division (gleiche Basis): aⁿ : aᵐ = a^(n-m)
- x⁵ : x² = x³
- 10⁶ : 10⁴ = 10²
3. Potenz der Potenz: (aⁿ)ᵐ = a^(n·m)
- (x²)³ = x⁶
- (2³)² = 2⁶
4. Produkt mit gleichem Exponenten: aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ
- 2³ · 5³ = (2·5)³ = 10³
- x² · y² = (xy)²
5. Quotient mit gleichem Exponenten: aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ
- 10⁵ : 2⁵ = (10:2)⁵ = 5⁵
a) x⁴ · x³
b) 2⁵ : 2²
c) (a³)⁴
Lösung:
a) x⁴ · x³ = x^(4+3) = x⁷
b) 2⁵ : 2² = 2^(5-2) = 2³ = 8
c) (a³)⁴ = a^(3·4) = a¹²
Für Wurzeln gelten ähnliche Gesetze wie für Potenzen, da Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten geschrieben werden können.
Die wichtigsten Wurzelgesetze:
1. Produkt von Wurzeln: √a · √b = √(a·b)
- √4 · √9 = √36 = 6
- √2 · √8 = √16 = 4
2. Quotient von Wurzeln: √a : √b = √(a:b)
- √16 : √4 = √4 = 2
- √50 : √2 = √25 = 5
3. Wurzel einer Potenz: √(aⁿ) = (√a)ⁿ
- √(x⁴) = (√x)⁴ = x²
- √(9²) = (√9)² = 3² = 9
4. Wurzel aus einer Wurzel: ⁿ√(ᵐ√a) = ^(n·m)√a
- ³√(√x) = ⁶√x
a) √2 · √18
b) √75 : √3
c) √(x⁶)
Lösung:
a) √2 · √18 = √(2·18) = √36 = 6
b) √75 : √3 = √(75:3) = √25 = 5
c) √(x⁶) = x³ (weil (x³)² = x⁶)
Positive Exponenten (große Zahlen):
- 10¹ = 10
- 10² = 100
- 10³ = 1000
- 10⁶ = 1.000.000 (eine Million)
- 10⁹ = 1.000.000.000 (eine Milliarde)
Negative Exponenten (kleine Zahlen):
- 10⁻¹ = 0.1
- 10⁻² = 0.01
- 10⁻³ = 0.001
- 10⁻⁶ = 0.000001 (ein Millionstel)
Wissenschaftliche Notation: a · 10ⁿ mit 1 ≤ a < 10
Beispiele:
- 3000 = 3 · 10³
- 0.005 = 5 · 10⁻³
- 450000 = 4.5 · 10⁵
a) 25000
b) 0.00007
Lösung:
a) 25000 = 2.5 · 10⁴
(Komma 4 Stellen nach links verschoben)
b) 0.00007 = 7 · 10⁻⁵
(Komma 5 Stellen nach rechts verschoben)
Das Rechnen mit 10er-Potenzen wird durch die Potenzgesetze vereinfacht.
Multiplikation:
(a · 10ⁿ) · (b · 10ᵐ) = (a · b) · 10^(n+m)
Division:
(a · 10ⁿ) : (b · 10ᵐ) = (a : b) · 10^(n-m)
Beispiele:
- (2 · 10³) · (3 · 10²) = 6 · 10⁵ = 600000
- (8 · 10⁶) : (4 · 10²) = 2 · 10⁴ = 20000
(3 · 10⁴) · (2 · 10⁵)
Lösung:
(3 · 10⁴) · (2 · 10⁵)
= (3 · 2) · (10⁴ · 10⁵)
= 6 · 10⁹