Negative Zahlen liegen links von der Null, positive Zahlen rechts.
Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie.
$-5 < -2 < 0 < 3 < 7$
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5$-3$ liegt links von $-1$, also ist $-3 < -1$
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$|5| = 5 \quad \quad |-5| = 5$
Gegenzahl: Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen
Gegenzahl von $5$ ist $-5$
Gegenzahl von $-3$ ist $3$
Gegenzahl:
- Gegenzahl von $8$ ist $-8$
- Gegenzahl von $-15$ ist $15$
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Addition:
- Gleiche Vorzeichen: Beträge addieren, Vorzeichen beibehalten
- Verschiedene Vorzeichen: Beträge subtrahieren, Vorzeichen der größeren Zahl
Subtraktion:
Eine Zahl subtrahieren = Gegenzahl addieren
$5 - 3 = 5 + (-3) = 2$
$5 - (-3) = 5 + 3 = 8$
Subtraktion:
- $4 - 7 = 4 + (-7) = -3$
- $(-2) - 5 = (-2) + (-5) = -7$
- $3 - (-4) = 3 + 4 = 7$
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Gleiche Vorzeichen → Ergebnis positiv:
- $(+) \cdot (+) = (+)$
- $(-) \cdot (-) = (+)$
Verschiedene Vorzeichen → Ergebnis negativ:
- $(+) \cdot (-) = (-)$
- $(-) \cdot (+) = (-)$
Das Gleiche gilt für Division!
Division:
- $12 : 4 = 3$
- $(-12) : (-4) = 3$
- $12 : (-4) = -3$
- $(-12) : 4 = -3$
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Kommutativgesetz:
$a + b = b + a$
Assoziativgesetz:
$(a + b) + c = a + (b + c)$
Klammern zuerst berechnen!
Mit Klammern:
$5 - (3 - 8) = 5 - (-5) = 5 + 5 = 10$
Vor der Klammer steht ein Minus → Alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen!
$5 - (3 - 7) = 5 - 3 + 7 = 9$
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Dieses Thema bringt nichts Neues. Es prüft, welche der vier Rechenbereiche schon sitzen — und schickt dich genau dorthin zurück, wo es noch klemmt.
Ablauf:
1. Runden-Training (W-Phase). Pro Runde bekommst du je eine Aufgabe aus vier Bereichen: Ordnen und Betrag, Addieren und Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren, Geschickt rechnen. Nach jeder Runde siehst du eine Prozent-Tabelle — eine Spalte pro Bereich.
2. Gezieltes Training (E-Phase). Ab der zweiten Runde darfst du umschalten. Dann werden dir deine drei schwächsten Bereiche angeboten; zwei davon kannst du als adaptive Aufgabenfolge trainieren: richtig → schwerer, falsch → leichter.
3. Kapitel-Mix. Wer durch ist, nimmt den Aufgabenpool darunter — dort liegen auch die Typen, die im Training nicht vorkommen: Sachaufgaben, negative Brüche und Dezimalzahlen.
Über jeder Aufgabe steht ein Link zum passenden Thema. Wenn du nicht weiterweißt: erst dort nachlesen, dann zurück zur Aufgabe.
| Werkzeug | Womit du rechnest | Woran du es erkennst |
|---|---|---|
| Ordnen und Betrag | Auf dem Zahlenstrahl liegt links die kleinere Zahl. Der Betrag ist der Abstand zur Null — immer positiv. Die Gegenzahl liegt gleich weit auf der anderen Seite. | „Welche Zahl ist größer?", „Bestimme den Betrag", „Nenne die Gegenzahl" |
| Addieren und Subtrahieren | Gleiche Vorzeichen: Beträge addieren, Vorzeichen behalten. Verschiedene Vorzeichen: Beträge subtrahieren, Vorzeichen der betragsgrößeren Zahl. Minus vor einer negativen Zahl wird zu Plus. | ein $+$ oder $-$ zwischen zwei Zahlen |
| Multiplizieren und Dividieren | Erst den Betrag rechnen, dann das Vorzeichen: gleiche Vorzeichen → Ergebnis positiv, verschiedene → negativ. | ein $\cdot$ oder $:$ zwischen zwei Zahlen |
| Geschickt rechnen | Summanden umstellen und paarweise zusammenfassen — das Vorzeichen wandert mit. Minusklammer auflösen: alle Vorzeichen darin umdrehen. | drei und mehr Zahlen, Klammern, Zahlen die sich aufheben |
Die drei Sätze, die alles zusammenhalten:
- Der Betrag entscheidet den Wert, das Vorzeichen entscheidet die Richtung. Bei jeder Rechnung zuerst die Beträge, dann das Vorzeichen — getrennt.
- Strichrechnung und Punktrechnung haben verschiedene Regeln. „Minus mal minus gibt plus" gilt beim Multiplizieren. Beim Addieren gilt es nicht: $(-3) + (-4) = -7$.
- Ein Minus kann Vorzeichen oder Rechenzeichen sein. In $-7 - (-3)$ ist das erste ein Vorzeichen, das zweite ein Rechenzeichen, das dritte wieder ein Vorzeichen.
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Sie sind die Werkzeuge, mit denen sich jede Aufgabe dieses Kapitels bearbeiten lässt — und sie bauen aufeinander auf: Ohne Betrag keine Begründung, ohne Strichrechnung keine Punktrechnung, ohne beide kein geschicktes Umstellen. Ordnen und Betrag liefern die Sprache, Addieren und Subtrahieren die erste Regel, Multiplizieren und Dividieren die zweite, und geschicktes Rechnen wendet beide zusammen an.
Wer in einem Bereich unter 50 % liegt, arbeitet am besten von oben nach unten: erst das frühere Thema, dann das spätere.