1. Wiederholung 4 - Prozentrechnung

1.1 Schreibweise und Grundlagen

📘 Erklärung
Prozent bedeutet "von Hundert" → $\%$

$1\% = \frac{1}{100} = 0,01$

Umrechnung:
- Prozent → Bruch: Durch 100 teilen
- Prozent → Dezimal: Komma 2 Stellen nach links
- Bruch/Dezimal → Prozent: Mit 100 multiplizieren

💡 Beispiel
Prozent → Bruch:
$25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Prozent → Dezimal:
$35\% = 0,35$

Bruch → Prozent:
$\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 75\%$

Dezimal → Prozent:
$0,6 = 60\%$

🎯 Interaktive Aufgabe 1.1.1

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🎯 Interaktive Aufgabe 1.1.4

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1.2 Vokabeln der Prozentrechnung

📘 Erklärung
Drei wichtige Begriffe:

- Grundwert (G): Das Ganze (100%)
- Prozentwert (W): Der Teil
- Prozentsatz (p%): Der Anteil in Prozent

Beispiel:
Von 200 € (G) sind 50 € (W) genau 25% (p%)

💡 Beispiel
Typische Formulierungen:

"20% von 150€"
- Grundwert: 150€
- Prozentsatz: 20%
- Gesucht: Prozentwert

"45 sind 30% von einer Zahl"
- Prozentwert: 45
- Prozentsatz: 30%
- Gesucht: Grundwert

🎯 Interaktive Aufgabe 1.2.1

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1.3 Prozentwert berechnen

📘 Erklärung
Gegeben: Grundwert (G) und Prozentsatz (p%)

Gesucht: Prozentwert (W)

Formel:
$W = G \cdot \frac{p}{100}$

oder

$W = G \cdot p\%$

💡 Beispiel
Aufgabe: Berechne 15% von 80€

$W = 80 \cdot \frac{15}{100} = 80 \cdot 0,15 = 12$

Antwort: 15% von 80€ sind 12€

🎯 Interaktive Aufgabe 1.3.1

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🎯 Interaktive Aufgabe 1.3.2

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1.4 Prozentsatz berechnen

📘 Erklärung
Gegeben: Grundwert (G) und Prozentwert (W)

Gesucht: Prozentsatz (p%)

Formel:
$p\% = \frac{W}{G} \cdot 100\%$

💡 Beispiel
Aufgabe: 18 von 120 Schülern sind krank. Wie viel Prozent?

$p\% = \frac{18}{120} \cdot 100\% = 0,15 \cdot 100\% = 15\%$

Antwort: 15% der Schüler sind krank.

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🎯 Interaktive Aufgabe 1.4.2

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1.5 Grundwert berechnen

📘 Erklärung
Gegeben: Prozentwert (W) und Prozentsatz (p%)

Gesucht: Grundwert (G)

Formel:
$G = W : \frac{p}{100}$

oder

$G = \frac{W}{p\%}$

💡 Beispiel
Aufgabe: 24€ sind 30% eines Betrags. Wie hoch ist der Gesamtbetrag?

$G = 24 : 0,30 = 80$

Antwort: Der Gesamtbetrag ist 80€

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1.6 Zinsen

📘 Erklärung
Zinsrechnung ist Prozentrechnung mit Geld:

- Kapital (K): Grundwert - das angelegte Geld
- Zinsen (Z): Prozentwert - die Zinsen für 1 Jahr
- Zinssatz (p%): Prozentsatz - wie viel Prozent Zinsen

Formel:
$Z = K \cdot \frac{p}{100}$

💡 Beispiel
Aufgabe: 500€ werden zu 3% Zinsen angelegt. Wie viele Zinsen erhält man nach einem Jahr?

$Z = 500 \cdot \frac{3}{100} = 500 \cdot 0,03 = 15$

Antwort: Man erhält 15€ Zinsen

🎯 Interaktive Aufgabe 1.6.1

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🔍 Erweiterte Information
Zinseszins:

Wenn die Zinsen wieder angelegt werden, spricht man von Zinseszins.

Nach n Jahren mit Zinssatz p%:
$K_{neu} = K_{alt} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

Beispiel: 1000€ zu 5% für 3 Jahre:
$K = 1000 \cdot 1,05^3 = 1157,63$