In diesem Kurs lernst du die Differentialrechnung kennen:
- Änderungsrate und ihre Bedeutung
- Mittlere und lokale Änderungsrate
- Die Ableitung als Grenzwert
- Ableitungsregeln
- Anwendungen: Extremwerte, Wendepunkte, Sattelpunkte
Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis und hat zahlreiche Anwendungen in Physik, Wirtschaft und Technik.
Die Änderungsrate beschreibt, wie schnell sich eine Größe ändert.
Beispiele:
- Geschwindigkeit: Änderungsrate des Ortes ($v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$)
- Beschleunigung: Änderungsrate der Geschwindigkeit ($a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$)
- Wachstumsrate: Änderungsrate einer Population
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Die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist:
$\bar{m} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
Geometrisch entspricht dies der Steigung der Sekante durch die Punkte $(a, f(a))$ und $(b, f(b))$.
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Die lokale Änderungsrate (momentane Änderungsrate) erhält man, wenn man das Intervall immer kleiner macht:
$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$
Die Sekante wird zur Tangente an der Stelle $x_0$.
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Die Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ gibt die lokale Änderungsrate an jeder Stelle $x$ an.
Die Ableitung ist definiert als:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
Schreibweisen:
- $f'(x)$ gesprochen: "f Strich von x"
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| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| $f(x) = c$ | $f'(x) = 0$ |
| $f(x) = x^n$ | $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ |
| $f(x) = \sin(x)$ | $f'(x) = \cos(x)$ |
| $f(x) = \cos(x)$ | $f'(x) = -\sin(x)$ |
| $f(x) = g(x)+h(x)$ | $f'(x) = g'(x)+h'(x)$ |
| $f(x) = c\cdot h(x)$ | $f'(x) = c\cdot h'(x)$ |
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Die zweite Ableitung $f''(x)$ ist die Ableitung der ersten Ableitung:
$f''(x) = (f'(x))'$
Sie beschreibt:
- Die Krümmung des Graphen
- Die Änderungsrate der Steigung
Krümmungsverhalten:
- $f''(x) > 0$: linksgekrümmt (konvex)
- $f''(x) < 0$: rechtsgekrümmt (konkav)
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Ein Extremwert liegt vor, wenn $f'(x_0) = 0$.
Notwendige Bedingung: $f'(x_0) = 0$
Hinreichende Bedingung:
- $f''(x_0) < 0$ → Maximum
- $f''(x_0) > 0$ → Minimum
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert.
Notwendige Bedingung: $f''(x_0) = 0$
Hinreichende Bedingung: $f'''(x_0) \neq 0$
Am Wendepunkt hat die Tangente die maximale oder minimale Steigung.
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Bedingungen:
- $f'(x_0) = 0$ (waagerechte Tangente)
- $f''(x_0) = 0$ (Wendepunkt)
- $f'''(x_0) \neq 0$
Beispiel: $f(x) = x^3$ hat bei $x = 0$ einen Sattelpunkt.