1. Ableitungen (Klasse 11)

In diesem Kurs lernst du die Differentialrechnung kennen:

- Änderungsrate und ihre Bedeutung
- Mittlere und lokale Änderungsrate
- Die Ableitung als Grenzwert
- Ableitungsregeln

Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte der Analysis und hat zahlreiche Anwendungen in Physik, Wirtschaft und Technik.

Die Änderungsrate beschreibt, wie schnell sich eine Größe ändert.

Beispiele:
- Geschwindigkeit: Änderungsrate des Ortes ($v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$)
- Beschleunigung: Änderungsrate der Geschwindigkeit ($a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$)
- Wachstumsrate: Änderungsrate einer Population

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist:

$\bar{m} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Geometrisch entspricht dies der Steigung der Sekante durch die Punkte $(a, f(a))$ und $(b, f(b))$.

Die lokale Änderungsrate (momentane Änderungsrate) erhält man, wenn man das Intervall immer kleiner macht:

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Die Sekante wird zur Tangente an der Stelle $x_0$.

Die Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ gibt die lokale Änderungsrate an jeder Stelle $x$ an.

Die Ableitung ist definiert als:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Schreibweisen:
- $f'(x)$ gesprochen: "f Strich von x"

Die zweite Ableitung $f''(x)$ ist die Ableitung der ersten Ableitung:

$f''(x) = (f'(x))'$

Sie beschreibt:
- Die Krümmung des Graphen
- Die Änderungsrate der Steigung

Krümmungsverhalten:
- $f''(x) > 0$: linksgekrümmt (konvex)
- $f''(x) < 0$: rechtsgekrümmt (konkav)

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ hat die Gleichung:

$t(x) = m \cdot x + b$

Vorgehen in 4 Schritten:

1. Aufpunkt berechnen: $y_0 = f(x_0)$ → Berührpunkt $P(x_0 \mid y_0)$
2. Steigung bestimmen: $m = f'(x_0)$
3. y-Achsenabschnitt bestimmen: $b = y_0 - m \cdot x_0$
4. Geradengleichung aufstellen: $t(x) = m \cdot x + b$

Die Normale steht im Punkt $P(x_0 \mid f(x_0))$ senkrecht auf der Tangente.

$n(x) = m_n \cdot x + b$

Vorgehen in 4 Schritten:

1. Aufpunkt berechnen: $y_0 = f(x_0)$ → Berührpunkt $P(x_0 \mid y_0)$
2. Steigung bestimmen: $m = f'(x_0)$, dann $m_n = -\dfrac{1}{m}$
3. y-Achsenabschnitt bestimmen: $b = y_0 - m_n \cdot x_0$
4. Geradengleichung aufstellen: $n(x) = m_n \cdot x + b$

Merke: $m_T \cdot m_N = -1$

Dieses Thema bringt nichts Neues. Es prüft, welche der fünf Werkzeuge schon sitzen — und schickt dich genau dorthin zurück, wo es noch klemmt.

Ablauf:

1. Runden-Training (W-Phase). Pro Runde bekommst du je eine Aufgabe aus fünf Bereichen: mittlere Änderungsrate, lokale Änderungsrate und Ableitung, Ableitungsregeln, Tangente, Normale. Nach jeder Runde siehst du eine Prozent-Tabelle — eine Spalte je Bereich. Schreib sie ab, bevor du weitergehst.
2. Gezieltes Training (E-Phase). Ab der zweiten Runde darfst du umschalten. Dann werden dir deine drei schwächsten Bereiche angeboten; zwei davon kannst du als adaptive Aufgabenfolge trainieren: richtig → schwerer, falsch → leichter.
3. Kapitel-Mix. Wer durch ist, nimmt den Aufgabenpool darunter. Dort liegen auch die Typen, die im Training nicht vorkommen: grafisches Ableiten, die zweite Ableitung und die Lückentexte des Kapitels.

Über jeder Aufgabe steht ein Link zum passenden Thema. Wenn du nicht weiterweißt: erst dort nachlesen, dann zurück zur Aufgabe.

Die drei Sätze, die das Kapitel zusammenhalten:

- Eine Stelle oder zwei — das entscheidet alles. Zwei Stellen: mittlere Änderungsrate, Sekante, $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Eine Stelle: lokale Änderungsrate, Tangente, $f'(x_0)$. Diese eine Frage beantwortest du vor jeder Rechnung.
- Ableiten ist nur der zweite von vier Schritten. Tangente und Normale brauchen immer drei Zahlen: $x_0$, den Funktionswert $y_0 = f(x_0)$ und die Steigung $m = f'(x_0)$. Wer $y_0$ vergisst, bekommt ein falsches $b$ — die Gerade hat dann die richtige Steigung, geht aber am Punkt vorbei.
- Das Minus der Normalen steht vor dem Bruch und der Nenner ist $m$. Aus $m = 6$ wird $m_n = -\dfrac{1}{6}$, nicht $-6$ und nicht $\dfrac{1}{6}$. Die Probe ist immer dieselbe: $m_T \cdot m_N = -1$.