1. Funktionen (Klasse 11)

In diesem Kurs beschäftigen wir uns mit verschiedenen Funktionstypen und ihren Eigenschaften:

- Polynome und ganzrationale Funktionen
- Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen
- Transformationen von Funktionen
- Nullstellen und Globalverhalten

Das Verständnis dieser Funktionen ist grundlegend für die gesamte Analysis.

Ein Polynom dritten Grades (kubische Funktion) hat die Form:

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Eigenschaften:
- Mindestens eine und höchstens drei Nullstellen
- Punktsymmetrisch zum Wendepunkt
- Für $a > 0$: von links unten nach rechts oben
- Für $a < 0$: von links oben nach rechts unten

Ein Polynom (ganzrationale Funktion) vom Grad $n$ hat die Form:

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$

Eigenschaften:
- Der Grad $n$ bestimmt das Verhalten für große $|x|$
- Höchstens $n$ Nullstellen
- Höchstens $n-1$ Extremstellen
- Höchstens $n-2$ Wendestellen

Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten:

$f(x) = x^n$

Exponent	Symmetrie	Definitionsbereich	Wertebereich
$n$ gerade	achsensymmetrisch	$\mathbb{R}$	$[0, \infty)$
$n$ ungerade	punktsymmetrisch	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$

Potenzfunktionen mit negativem Exponenten:

$f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$

Diese haben eine Definitionslücke bei $x = 0$.

Wurzelfunktionen sind Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen:

$f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Eigenschaften:
- Definitionsbereich: $[0, \infty)$ für gerade $n$
- Definitionsbereich: $\mathbb{R}$ für ungerade $n$
- Streng monoton steigend
- Graph verläuft durch $(0,0)$ und $(1,1)$

Verschiebung einer Funktion $f(x)$:

- Horizontal um $d$ nach rechts: $g(x) = f(x - d)$
- Horizontal um $d$ nach links: $g(x) = f(x + d)$
- Vertikal um $e$ nach oben: $g(x) = f(x) + e$
- Vertikal um $e$ nach unten: $g(x) = f(x) - e$

Streckung/Stauchung einer Funktion $f(x)$:

- Vertikal mit Faktor $a$: $g(x) = a \cdot f(x)$
- $|a| > 1$: Streckung
- $|a| < 1$: Stauchung
- $a < 0$: Spiegelung an der x-Achse

- Horizontal mit Faktor $b$: $g(x) = f(b \cdot x)$
- $|b| > 1$: Stauchung
- $|b| < 1$: Streckung
- $b < 0$: Spiegelung an der y-Achse

Achsensymmetrie zur y-Achse:
$f(-x) = f(x)$
Beispiel: $f(x) = x^2$, $f(x) = \cos(x)$

Punktsymmetrie zum Ursprung:
$f(-x) = -f(x)$
Beispiel: $f(x) = x^3$, $f(x) = \sin(x)$

Nullstellen sind die Lösungen von $f(x) = 0$.

Methoden zum Finden von Nullstellen:
1. Ausklammern: $x^2 - 4x = x(x-4) = 0$
2. Mitternachtsformel: für $ax^2 + bx + c = 0$
3. Polynomdivision: bei bekannter Nullstelle
4. Substitution: z.B. bei biquadratischen Gleichungen
5. Numerische Verfahren: Newton-Verfahren

Das Globalverhalten beschreibt das Verhalten für $x \to \pm\infty$.

Für Polynome $f(x) = a_n x^n + ...$:

Grad $n$	Führungskoeffizient $a_n$	$x \to -\infty$	$x \to +\infty$
gerade	$a_n > 0$	$+\infty$	$+\infty$
gerade	$a_n < 0$	$-\infty$	$-\infty$
ungerade	$a_n > 0$	$-\infty$	$+\infty$
ungerade	$a_n < 0$	$+\infty$	$-\infty$