1. Funktionsuntersuchung (Klasse 11)

Bei einer vollständigen Funktionsuntersuchung analysieren wir eine Funktion systematisch:

1. Definitionsbereich
2. Symmetrie
3. Nullstellen
4. Ableitungen
5. Extrempunkte
6. Wendepunkte
7. Verhalten im Unendlichen
8. Skizze des Graphen

Dieser Kurs behandelt jeden dieser Aspekte im Detail.

Für die Funktionsuntersuchung benötigen wir:

- Erste Ableitung $f'(x)$: für Extremstellen und Monotonie
- Zweite Ableitung $f''(x)$: für Wendestellen und Krümmung
- Dritte Ableitung $f'''(x)$: zur Überprüfung von Wendepunkten

Beispiel: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$
- $f'(x) = 3x^2 - 6x$
- $f''(x) = 6x - 6$
- $f'''(x) = 6$

Strategien:
1. Ausklammern: Gemeinsame Faktoren herausziehen
2. Substitution: Bei biquadratischen Gleichungen ($x^4, x^2$)
3. Mitternachtsformel: Für quadratische Terme
4. Polynomdivision: Wenn eine Nullstelle bekannt ist
5. Erraten und Prüfen: Teiler des Absolutglieds testen

Vielfachheit von Nullstellen:
- Einfache Nullstelle: Graph schneidet die x-Achse
- Doppelte Nullstelle: Graph berührt die x-Achse (Extremstelle)
- Dreifache Nullstelle: Graph durchläuft mit Wendepunkt

Jedes Polynom lässt sich als Produkt seiner Linearfaktoren schreiben:

$f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdots (x - x_n)$

Die Nullstellen $x_1, x_2, \ldots, x_n$ sind direkt ablesbar — dort ist je ein Faktor gleich null.

Vielfachheit eines Linearfaktors bestimmt das Verhalten am Graphen:

Beispiele:
- $f(x) = (x+2)(x-1)(x-3)$ → Nullstellen: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$, $x_3 = 3$ (alle einfach)
- $g(x) = x^2(x-4)$ → Nullstellen: $x_1 = 0$ (doppelt), $x_2 = 4$ (einfach)
- $h(x) = (x-1)^3$ → Nullstelle: $x_1 = 1$ (dreifach, Sattelpunkt)

Vorgehen:
1. $f'(x) = 0$ setzen und nach $x$ auflösen
2. Art des Extremums bestimmen:
- $f''(x_0) < 0$ → Hochpunkt (Maximum)
- $f''(x_0) > 0$ → Tiefpunkt (Minimum)
3. y-Koordinate berechnen: $y_0 = f(x_0)$

Alternativ: Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ prüfen
- $f'$ wechselt von $+$ zu $-$ → Hochpunkt
- $f'$ wechselt von $-$ zu $+$ → Tiefpunkt

Vorgehen:
1. $f''(x) = 0$ setzen und nach $x$ auflösen
2. Überprüfen: $f'''(x_0) \neq 0$
3. Koordinaten berechnen: $(x_0, f(x_0))$

Alternativ: Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ prüfen

Wendetangente: Die Tangente im Wendepunkt hat die Gleichung:
$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Bedingungen:
- $f'(x_0) = 0$
- $f''(x_0) = 0$
- $f'''(x_0) \neq 0$

Beispiel: $f(x) = x^3$
- $f'(x) = 3x^2$, $f'(0) = 0$ ✓
- $f''(x) = 6x$, $f''(0) = 0$ ✓
- $f'''(x) = 6$, $f'''(0) = 6 \neq 0$ ✓

Der Ursprung $(0,0)$ ist ein Sattelpunkt.

Achsensymmetrie zur y-Achse:
Prüfe ob $f(-x) = f(x)$ für alle $x$.
→ Nur gerade Exponenten: $x^0, x^2, x^4, ...$

Punktsymmetrie zum Ursprung:
Prüfe ob $f(-x) = -f(x)$ für alle $x$.
→ Nur ungerade Exponenten: $x^1, x^3, x^5, ...$

Tipp: Bei Polynomen reicht ein Blick auf die Exponenten:
- Alle Exponenten gerade → achsensymmetrisch
- Alle Exponenten ungerade → punktsymmetrisch
- Gemischte Exponenten → keine Symmetrie

Das Globalverhalten (Verhalten im Unendlichen) wird vom Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt.

Für $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_0$ gilt:

$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$

Schreibweise:
- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ bedeutet: "Für große positive $x$ geht $f(x)$ gegen plus unendlich"
- $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ bedeutet: "Für große negative $x$ geht $f(x)$ gegen minus unendlich"

1. Definitionsbereich $D_f$ angeben
2. Symmetrie prüfen
3. Nullstellen berechnen: $f(x) = 0$
4. Ableitungen bilden: $f'(x)$, $f''(x)$, ggf. $f'''(x)$
5. Extrempunkte bestimmen: $f'(x) = 0$, Typ mit $f''$ prüfen
6. Wendepunkte bestimmen: $f''(x) = 0$, mit $f'''$ prüfen
7. Verhalten für $x \to \pm\infty$
8. Wertetabelle für markante Punkte
9. Graph skizzieren