Eine Funktion f ordnet jedem Element x aus der Definitionsmenge D genau ein Element y aus der Wertemenge W zu.

Schreibweise: f: D → W, x ↦ y = f(x)

Wichtige Begriffe:
- Definitionsbereich D: Menge aller möglichen x-Werte
- Wertebereich W: Menge aller möglichen y-Werte (Funktionswerte)
- Graph: Menge aller Punkte (x|f(x))

Funktionseigenschaften:
1. Nullstellen: f(x) = 0
2. Schnittpunkt mit y-Achse: f(0)
3. Symmetrie:
- Achsensymmetrie zur y-Achse: f(-x) = f(x) (gerade Funktion)
- Punktsymmetrie zum Ursprung: f(-x) = -f(x) (ungerade Funktion)
4. Monotonie:
- Streng monoton steigend: x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) < f(x₂)
- Streng monoton fallend: x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂)

- m: Steigung
- b: y-Achsenabschnitt
- Graph: Gerade

Eigenschaften:
- Definitionsbereich: D = ℝ
- Wertebereich: W = ℝ (außer bei m = 0)
- Bei m > 0: streng monoton steigend
- Bei m < 0: streng monoton fallend
- Bei m = 0: konstante Funktion

Formen:
1. Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
2. Scheitelpunktform: f(x) = a(x - d)² + e
3. Faktorisierte Form: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

Parameter a:
- a > 0: nach oben geöffnet (Minimum im Scheitelpunkt)
- a < 0: nach unten geöffnet (Maximum im Scheitelpunkt)
- |a| > 1: gestaucht
- |a| < 1: gestreckt

Scheitelpunkt: S(d|e) ist Extrempunkt
Symmetrieachse: x = d

Zur Lösung von ax² + bx + c = 0 gibt es mehrere Verfahren:

1. p-q-Formel (Normalform x² + px + q = 0):
x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

2. abc-Formel (allgemeine Form):
x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Diskriminante D:
- D > 0: zwei verschiedene Lösungen
- D = 0: eine Lösung (Doppellösung)
- D < 0: keine reelle Lösung

- a: Anfangswert (f(0) = a)
- b: Basis (Wachstums-/Zerfallsfaktor)
- x: Exponent

Besondere Exponentialfunktion: f(x) = eˣ
- e: Eulersche Zahl ≈ 2,71828...
- e: Basis des natürlichen Logarithmus

Eigenschaften:
- Definitionsbereich: D = ℝ
- Wertebereich: W = (0; ∞) für a > 0
- Immer positiv: f(x) > 0 für alle x
- Keine Nullstellen
- b > 1: Exponentielles Wachstum (streng monoton steigend)
- 0 < b < 1: Exponentieller Zerfall (streng monoton fallend)

- Wachstum um p%: b = 1 + p/100
- +10% → b = 1,1
- +5% → b = 1,05

- Zerfall um p%: b = 1 - p/100
- -20% → b = 0,8
- -15% → b = 0,85

Der natürliche Logarithmus ln ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.

Definition: ln(y) = x ⟺ eˣ = y

Eigenschaften:
- Definitionsbereich: D = (0; ∞) (nur positive Zahlen!)
- Wertebereich: W = ℝ
- ln(1) = 0
- ln(e) = 1
- Streng monoton steigend

Logarithmusgesetze:
1. ln(a·b) = ln(a) + ln(b)
2. ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
3. ln(aⁿ) = n·ln(a)

Unterscheidung nach Exponenten:

Gerade Exponenten (n = 2, 4, 6, ...):
- Achsensymmetrisch zur y-Achse: f(-x) = f(x)
- Wertebereich: W = [0; ∞) für a > 0
- Minimum im Ursprung (für a > 0)

Ungerade Exponenten (n = 1, 3, 5, ...):
- Punktsymmetrisch zum Ursprung: f(-x) = -f(x)
- Wertebereich: W = ℝ
- Streng monoton steigend (für a > 0)

Negative Exponenten (n < 0):
- f(x) = x⁻ⁿ = 1/xⁿ
- Definitionsbereich: D = ℝ \ {0}
- Asymptoten an x-Achse und y-Achse

Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion von f(x) = x² (für x ≥ 0).

Eigenschaften:
- Definitionsbereich: D = [0; ∞)
- Wertebereich: W = [0; ∞)
- Streng monoton steigend
- f(0) = 0, f(1) = 1
- Wächst immer langsamer

Allgemeine Form: f(x) = a·√(x - b) + c
- b: Verschiebung in x-Richtung
- c: Verschiebung in y-Richtung
- a: Streckung/Stauchung

Eigenschaften (für Winkel im Bogenmaß):

Sinusfunktion:
- Definitionsbereich: D = ℝ
- Wertebereich: W = [-1; 1]
- Periode: 2π (≈ 6,28)
- Nullstellen: x = k·π (k ∈ ℤ)
- Maximum bei x = π/2 + 2kπ: sin(x) = 1
- Minimum bei x = 3π/2 + 2kπ: sin(x) = -1
- Punktsymmetrisch zum Ursprung: sin(-x) = -sin(x)

Kosinusfunktion:
- Definitionsbereich: D = ℝ
- Wertebereich: W = [-1; 1]
- Periode: 2π
- Nullstellen: x = π/2 + k·π (k ∈ ℤ)
- Maximum bei x = 2kπ: cos(x) = 1
- Minimum bei x = π + 2kπ: cos(x) = -1
- Achsensymmetrisch zur y-Achse: cos(-x) = cos(x)

Das Bogenmaß (auch Radiant) ist ein alternatives Winkelmaß.

Umrechnung:
- 360° = 2π rad
- 180° = π rad
- 90° = π/2 rad
- 1° = π/180 rad
- 1 rad = 180°/π ≈ 57,3°

Wichtige Werte:

Parameter:
- a: Amplitude (Streckung in y-Richtung)
- |a|: Abstand von Mittellage zu Maximum/Minimum
- a < 0: Spiegelung an x-Achse

- b: Frequenz (Stauchung/Streckung in x-Richtung)
- Periode T = 2π/b
- b > 1: Stauchung (mehr Schwingungen)
- 0 < b < 1: Streckung (weniger Schwingungen)

- c: Phasenverschiebung (Verschiebung in x-Richtung)
- c > 0: Verschiebung nach rechts
- c < 0: Verschiebung nach links

- d: Vertikalverschiebung (Verschiebung in y-Richtung)
- Mittellage bei y = d
- Wertebereich: W = [d - |a|; d + |a|]

Für sin(x) = a oder cos(x) = a gibt es:
- Keine Lösung, wenn |a| > 1
- Unendlich viele Lösungen (wegen Periodizität), wenn |a| ≤ 1

Lösungsstrategie:
1. Gleichung nach sin(x) oder cos(x) auflösen
2. Grundlösung mit Taschenrechner oder Einheitskreis bestimmen
3. Weitere Lösungen durch Periodizität und Symmetrie finden
4. Lösungen im geforderten Intervall angeben