1. Integralrechnung (Klasse 12)

In diesem Kurs lernst du die Integralrechnung kennen — das Gegenstück zur Differentialrechnung:

- Wiederholung: Ableitungen
- Stammfunktionen und Integrationsregeln
- Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Flächen zwischen Funktionen
- Integrale als Grenzwerte (eA)
- Rotationskörper (eA)

Die Integralrechnung ermöglicht es, Flächen, Volumina und Bestandsänderungen zu berechnen.

Bevor wir mit der Integralrechnung beginnen, wiederholen wir die wichtigsten Ableitungsregeln:

Potenzregel:
$f(x) = a \cdot x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot a \cdot x^{n-1}$

Summenregel:
$[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)$

Trigonometrische Ableitungen:
$[\sin(x)]' = \cos(x) \qquad [\cos(x)]' = -\sin(x)$

Die Ableitung gibt die momentane Änderungsrate an — die Stammfunktion kehrt diesen Vorgang um.

Für die Integralrechnung brauchen wir auch die Kettenregel und Produktregel:

Kettenregel (verkettete Funktionen):
$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Produktregel (Produkte von Funktionen):
$[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Eine Funktion $F(x)$ heißt Stammfunktion von $f(x)$, wenn gilt:

$F'(x) = f(x)$

Integrationsregeln (Umkehrung der Ableitungsregeln):

Die Konstante $C$ ergibt sich daraus, dass verschiedene Stammfunktionen sich nur um eine Konstante unterscheiden.

Zwischen einer Funktion $f$, ihrer Ableitung $f'$ und ihrer Stammfunktion $F$ bestehen folgende Zusammenhänge:

- $f$ hat eine Nullstelle → $F$ hat dort einen Extrempunkt
- $f$ hat einen Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ → $F$ hat dort ein Maximum
- $f$ ist positiv → $F$ ist steigend
- $f$ ist negativ → $F$ ist fallend

Diese Zusammenhänge helfen beim Zuordnen von Graphen zu $f$, $f'$ und $F$.

In vielen Anwendungen beschreibt die Funktion $f(t)$ eine Änderungsrate (z.B. Zuflussrate in Liter/Stunde). Die Bestandsänderung im Zeitintervall $[a, b]$ ist dann:

$\Delta B = \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a)$

Beispiele:
- Zuflussrate eines Wasserhahns → Wassermenge
- Geschwindigkeit → zurückgelegter Weg
- Stromverbrauchsrate → Gesamtverbrauch

Der Hauptsatz verbindet Ableitung und Integral:

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b$

Dabei ist $F$ eine beliebige Stammfunktion von $f$.

Schritte zur Berechnung eines bestimmten Integrals:
1. Stammfunktion $F(x)$ bestimmen
2. Obere Grenze einsetzen: $F(b)$
3. Untere Grenze einsetzen: $F(a)$
4. Differenz berechnen: $F(b) - F(a)$

Das bestimmte Integral lässt sich als Grenzwert von Riemann-Summen verstehen:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \cdot \Delta x$

Dabei wird das Intervall $[a, b]$ in $n$ Teilintervalle der Breite $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ unterteilt. Die Summe der Rechteckflächen nähert sich dem Integral an.

In der folgenden Visualisierung kannst du die Anzahl $n$ der Rechtecke, die Unter- und Obergrenze verändern und verschiedene Flächentypen (links, rechts, Trapez) vergleichen:

Um die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse zu berechnen, muss man auf Vorzeichenwechsel achten:

1. Nullstellen bestimmen
2. Intervalle einzeln integrieren
3. Beträge addieren (Fläche ist immer positiv!)

$A = \left|\int_a^{x_1} f(x)\,dx\right| + \left|\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx\right| + \ldots$

Für die Fläche zwischen zwei Funktionen $f$ und $g$:

$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$

Auch hier: Schnittpunkte bestimmen und intervallweise integrieren.

Rotiert der Graph einer Funktion $f$ um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper. Sein Volumen berechnet sich mit:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

Wird die Fläche zwischen zwei Funktionen $f$ und $g$ rotiert:

$V = \pi \int_a^b \left|[f(x)]^2 - [g(x)]^2\right| \, dx$

Vorgehensweise:
1. Grenzen bestimmen (gegeben oder Nullstellen/Schnittpunkte)
2. $[f(x)]^2$ bilden und vereinfachen
3. Integrieren und mit $\pi$ multiplizieren