1. Wachstum & e-Funktion (Klasse 12)

In diesem Kurs lernst du die e-Funktion und verschiedene Wachstumsmodelle kennen:

- Ketten- und Produktregel
- Die e-Funktion und ihre Ableitung
- Der natürliche Logarithmus
- Exponentielles, begrenztes und logistisches Wachstum
- Kurvenanpassung und Modellierung (eA)
- Funktionenscharen (eA)

Die e-Funktion ist die wichtigste Funktion der Analysis — sie beschreibt natürliche Wachstums- und Zerfallsprozesse.

Die Kettenregel wird benötigt, wenn eine Funktion in eine andere eingesetzt ist (verkettete Funktion):

$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Man leitet die äußere Funktion ab und multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion.

Beispiele:

Die Produktregel wird benötigt, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden:

$[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Beispiele:

Die eulersche Zahl $e \approx 2{,}71828$ ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Die e-Funktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie gleich ihrer eigenen Ableitung ist:

$f(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = e^x$

Mit der Kettenregel folgt:
$f(x) = e^{g(x)} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(x) \cdot e^{g(x)}$

Wichtige Spezialfälle:
- $[e^{kx}]' = k \cdot e^{kx}$
- $[a \cdot e^{kx}]' = a \cdot k \cdot e^{kx}$
- $[x^n \cdot e^{mx}]' = n x^{n-1} e^{mx} + m x^n e^{mx}$ (Produktregel!)

Jede Exponentialfunktion $f(x) = a \cdot b^x$ lässt sich auch mit der Basis $e$ schreiben:

$a \cdot b^x = a \cdot e^{kx} \quad \text{mit} \quad k = \ln(b)$

Umrechnung:
- Von $b$-Form in $e$-Form: $k = \ln(b)$
- Von $e$-Form in $b$-Form: $b = e^k$

Diese Darstellung ist für die Ableitung und Integration vorteilhaft.

Der natürliche Logarithmus $\ln(x)$ ist die Umkehrfunktion von $e^x$:

$y = e^x \iff x = \ln(y)$

Rechenregeln:
- $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$
- $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
- $\ln(a^n) = n \cdot \ln(a)$
- $\ln(e) = 1$, $\ln(1) = 0$

Anwendung: Lösen von Gleichungen der Form $e^{kx} = c$:
$kx = \ln(c) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\ln(c)}{k}$

Beim exponentiellen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Bestand:

$f(t) = A \cdot e^{kt}$

- $A$: Anfangswert ($f(0) = A$)
- $k > 0$: Wachstum, $k < 0$: Zerfall
- Verdopplungszeit: $t_2 = \frac{\ln(2)}{k}$
- Halbwertszeit: $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{|k|}$

In der folgenden Visualisierung kannst du die Parameter $a$ und $b$ der Funktion $f(x) = a \cdot b^x$ verändern:

Die Darstellung mit der Basis $e$ ist in der Analysis gebräuchlicher:

$f(t) = A \cdot e^{kt}$

Hier kannst du die Parameter $A$ und $k$ der Funktion $f(x) = A \cdot e^{kx}$ verändern:

Beim begrenzten Wachstum nähert sich der Bestand einer Schranke $G$ (Kapazitätsgrenze):

$f(t) = G - (G - A) \cdot e^{kt} \quad \text{mit } k < 0$

- $A$: Anfangswert
- $G$: Grenzwert (Sättigungsgrenze)
- Die Änderungsrate nimmt ab, je näher der Bestand an $G$ ist

Beispiele: Aufwärmen eines Getränks, Lernkurve, Medikamentenspiegel

Das logistische Wachstum kombiniert exponentielles und begrenztes Wachstum:

$f(t) = \frac{A \cdot G}{A + (G - A) \cdot e^{-k \cdot t}}$

- Anfangs wächst der Bestand fast exponentiell
- Am Wendepunkt (bei $f = \frac{G}{2}$) ist das Wachstum am stärksten
- Danach nähert sich der Bestand der Kapazitätsgrenze $G$

Beispiele: Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Epidemien, Gerüchteverbreitung

Bei der Kurvenanpassung (Steckbriefaufgabe) wird eine Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen bestimmt:

Vorgehen:
1. Funktionstyp wählen (z.B. Polynom $n$-ten Grades)
2. Bedingungen aufstellen (Punkte, Extremstellen, Wendepunkte)
3. Gleichungssystem aufstellen und lösen

Typische Bedingungen:
- $f(a) = b$ (Funktionswert)
- $f'(a) = 0$ (Extremstelle)
- $f''(a) = 0$ (Wendepunkt)
- $f(a) = f(b)$ (Trassierung: Übergangsbedingung)

Lineare Gleichungssysteme mit 3 oder mehr Unbekannten löst man mit dem Gauß-Algorithmus:

1. Gleichungssystem als erweiterte Matrix schreiben
2. Durch Zeilenoperationen in Stufenform bringen
3. Rückwärts einsetzen

Mögliche Lösungsmengen:
- Genau eine Lösung: Das System ist eindeutig lösbar
- Keine Lösung: Widerspruch in einer Zeile (z.B. $0 = 5$)
- Unendlich viele Lösungen: Eine Nullzeile → freier Parameter

Dieses Verfahren ist zentral für Kurvenanpassung und Trassierung.