1. Stochastik (Klasse 13)

In diesem Kurs lernst du die Stochastik der Qualifikationsphase:

- Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
- Faire Spiele
- Binomialverteilung
- Normalverteilung (eA)
- Sigmaregeln (eA)
- Konfidenzintervalle (eA)

Der Erwartungswert $\mu$ (oder $E(X)$) einer Zufallsvariable $X$ ist der gewichtete Mittelwert aller möglichen Ergebnisse:

$\mu = E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)$

Der Erwartungswert gibt an, welchen Wert man im Durchschnitt bei vielen Wiederholungen eines Zufallsexperiments erwarten kann.

Die Varianz $\sigma^2$ misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert:

$\sigma^2 = V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$

Die Standardabweichung $\sigma$ ist die Wurzel der Varianz:

$\sigma = \sqrt{V(X)}$

Interpretation:
- Kleine Standardabweichung → Werte liegen nah am Erwartungswert
- Große Standardabweichung → Werte sind weit gestreut

Ein Glücksspiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns gleich dem Einsatz ist:

$E(\text{Gewinn}) = \text{Einsatz}$

Oder äquivalent: Der erwartete Reingewinn ist null:

$E(\text{Reingewinn}) = E(\text{Gewinn}) - \text{Einsatz} = 0$

Um ein Spiel fair zu machen, bestimmt man den fairen Einsatz $e$ so, dass $E(\text{Gewinn}) = e$.

Die Binomialverteilung beschreibt Zufallsexperimente mit folgenden Voraussetzungen:

1. Das Experiment wird $n$-mal unabhängig wiederholt
2. Bei jeder Wiederholung gibt es genau zwei Ausgänge: Treffer (Wahrscheinlichkeit $p$) oder Niete ($1-p$)
3. Die Wahrscheinlichkeit $p$ ist bei jeder Wiederholung gleich

Beispiele:
- 10-maliges Werfen einer Münze ($n = 10$, $p = 0{,}5$)
- 20 Würfe mit einem Würfel, "6" als Treffer ($n = 20$, $p = \frac{1}{6}$)

Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele Arten man $k$ Elemente aus $n$ auswählen kann:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Dabei ist $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ die Fakultät.

Beispiel: $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{720}{2 \cdot 24} = 15$

Es gibt 15 Möglichkeiten, 2 Elemente aus 6 auszuwählen.

Die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer bei $n$ Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Kumulative Wahrscheinlichkeiten:
- $P(X \leq k)$: Höchstens $k$ Treffer
- $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$: Mindestens $k$ Treffer
- $P(a \leq X \leq b)$: Treffer im Intervall $[a, b]$

In der Visualisierung kannst du $n$ und $p$ verändern und die Verteilung beobachten:

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ mit Parametern $n$ und $p$ gilt:

Erwartungswert:
$\mu = n \cdot p$

Varianz:
$\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p)$

Standardabweichung:
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Diese Formeln ermöglichen schnelle Berechnungen ohne die gesamte Verteilung aufzustellen.

Das Prognoseintervall (auch Schwankungsintervall) gibt an, in welchem Bereich die Trefferzahl $X$ mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt:

$[\mu - c \cdot \sigma; \; \mu + c \cdot \sigma]$

Dabei wählt man $c$ je nach gewünschtem Sicherheitsniveau:
- $c = 1$: ca. 68% Wahrscheinlichkeit
- $c = 2$: ca. 95% Wahrscheinlichkeit ($1{,}96\sigma$-Umgebung)
- $c = 3$: ca. 99,7% Wahrscheinlichkeit

Die Binomialverteilung findet in vielen Bereichen Anwendung:

- Qualitätskontrolle: Wie wahrscheinlich ist es, dass höchstens 3 von 100 Produkten fehlerhaft sind?
- Überbuchung: Wie viele Plätze darf eine Airline überbuchen?
- Medizin: Wie wahrscheinlich ist ein bestimmter Therapieerfolg?

Typische Aufgabenformate verlangen:
1. Parameter $n$ und $p$ identifizieren
2. Die passende Wahrscheinlichkeit berechnen
3. Das Ergebnis im Sachzusammenhang interpretieren

Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) mit Parametern $\mu$ und $\sigma$ hat die Dichtefunktion:

$\varphi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

Eigenschaften:
- Symmetrisch um $\mu$ (Glockenform)
- Wendepunkte bei $\mu \pm \sigma$
- Fläche unter der Kurve = 1

In der Visualisierung kannst du $\mu$ und $\sigma$ verändern:

Die Sigmaregeln geben an, wie viel Prozent der Werte in bestimmten Intervallen um den Erwartungswert liegen:

Die Sigmaregeln gelten exakt für die Normalverteilung und näherungsweise für die Binomialverteilung (bei großem $n$).

Ein Konfidenzintervall schätzt den unbekannten Parameter $p$ einer Binomialverteilung aus einer Stichprobe:

Aus einer Stichprobe mit $n$ Versuchen und $k$ Treffern (relative Häufigkeit $h = \frac{k}{n}$) ergibt sich das Konfidenzintervall:

$\left[h - \frac{c}{\sqrt{n}}; \; h + \frac{c}{\sqrt{n}}\right]$

mit $c$ abhängig vom Konfidenzniveau:
- 90%: $c \approx 1{,}64$
- 95%: $c \approx 1{,}96$
- 99%: $c \approx 2{,}58$

Das Konfidenzintervall überdeckt den wahren Wert $p$ mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit.