1. Analytische Geometrie (Klasse 12/13)

In diesem Kurs lernst du die Analytische Geometrie im dreidimensionalen Raum:

- Punkte und Vektoren
- Skalarprodukt und Winkel
- Geraden und ihre Lagebeziehungen
- Ebenen in verschiedenen Darstellungsformen
- Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
- Winkel und Abstände (eA)
- Ebenenformen umwandeln (eA)

Ein Punkt im Raum wird durch drei Koordinaten beschrieben: $P(x|y|z)$.

Abstand zweier Punkte $P(p_1|p_2|p_3)$ und $Q(q_1|q_2|q_3)$:

$d(P,Q) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + (q_3-p_3)^2}$

Dies ist die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf drei Dimensionen.

Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung im Raum:

$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

Vektor zwischen zwei Punkten:
$\vec{PQ} = \begin{pmatrix} q_1 - p_1 \\ q_2 - p_2 \\ q_3 - p_3 \end{pmatrix}$

Länge (Betrag) eines Vektors:
$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind linear abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist:
$\vec{b} = r \cdot \vec{a}$

Eine Linearkombination ist: $\vec{c} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b}$

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

Es gilt auch:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

Daraus folgt der Winkel zwischen zwei Vektoren:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Orthogonalität: Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Mit Vektoren lassen sich geometrische Formen analysieren:

Dreiecke:
- Gleichschenklig: Zwei Seiten gleich lang
- Gleichseitig: Alle drei Seiten gleich lang
- Rechtwinklig: Ein Winkel = 90° (Skalarprodukt = 0)

Vierecke (über parallele Seiten):
- Parallelogramm: Gegenüberliegende Seiten parallel
- Raute: Parallelogramm mit gleichen Seitenlängen
- Rechteck: Parallelogramm mit rechten Winkeln
- Quadrat: Raute und Rechteck zugleich

Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren ergibt einen Vektor, der senkrecht auf beiden steht:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

Anwendungen:
- Flächeninhalt eines Parallelogramms: $A = |\vec{a} \times \vec{b}|$
- Flächeninhalt eines Dreiecks: $A = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$
- Normalenvektor einer Ebene

Mit dem Kreuzprodukt und dem Spatprodukt lassen sich Flächen und Volumina berechnen:

Spatprodukt:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$

Volumen eines Spats: $V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Volumen einer Pyramide: $V = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Eine Gerade im Raum wird in Parameterform dargestellt:

$g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$

- $\vec{p}$: Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden)
- $\vec{u}$: Richtungsvektor
- $t \in \mathbb{R}$: Parameter

Gerade durch zwei Punkte $P$ und $Q$:
$g: \vec{x} = \vec{OP} + t \cdot \vec{PQ}$

Zwei Geraden $g$ und $h$ können zueinander folgende Lagebeziehungen haben:

Vorgehen: Gleichsetzen der Geradengleichungen → LGS lösen.

Eine Ebene im Raum wird in Parameterform dargestellt:

$E: \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}$

- $\vec{p}$: Stützvektor
- $\vec{u}, \vec{v}$: Richtungsvektoren (linear unabhängig)
- $s, t \in \mathbb{R}$: Parameter

Ebene durch drei Punkte $P$, $Q$, $R$:
$E: \vec{x} = \vec{OP} + s \cdot \vec{PQ} + t \cdot \vec{PR}$

Punktprobe: Liegt ein Punkt $A$ auf der Ebene? Einsetzen und LGS lösen.

Eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ können folgende Lagebeziehungen haben:

Vorgehen: Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen → LGS lösen.

Die Spurpunkte einer Geraden oder Ebene sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen:

- $S_{xy}$: Schnittpunkt mit der $xy$-Ebene ($z = 0$)
- $S_{xz}$: Schnittpunkt mit der $xz$-Ebene ($y = 0$)
- $S_{yz}$: Schnittpunkt mit der $yz$-Ebene ($x = 0$)

Eine Gerade hat höchstens 3 Spurpunkte, eine Ebene hat Spurgeraden (Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen).

Zwei Ebenen können zueinander folgende Lagebeziehungen haben:

Vorgehen: Ebenengleichungen gleichsetzen → LGS lösen.

Neben der Parameterform gibt es zwei weitere Darstellungen:

Normalenform:
$E: (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

Koordinatenform:
$E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d$

Umwandlung:
- PF → NF: Normalenvektor $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$
- NF → KF: Ausmultiplizieren
- KF → NF: Normalenvektor ablesen, einen Punkt finden
- KF → PF: Drei Punkte auf der Ebene finden
- PF → KF: Über Normalenform oder Gleichungssystem

Winkel zwischen zwei Ebenen (über Normalenvektoren):
$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Winkel zwischen Gerade und Ebene:
$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$

Achtung: Bei Gerade-Ebene wird $\sin$ statt $\cos$ verwendet!

Abstand Punkt–Gerade:
Lotfußpunkt bestimmen über Skalarprodukt-Bedingung: $\vec{PF} \cdot \vec{u} = 0$

Abstand windschiefer Geraden:
$d(g, h) = \frac{|(\vec{p_2} - \vec{p_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Viele Vektoroperationen lassen sich mit dem CAS-Taschenrechner effizient berechnen:

- Skalare Multiplikation, Addition, Subtraktion
- Betrag eines Vektors
- Skalarprodukt
- Kreuzprodukt
- Flächen von Parallelogrammen und Dreiecken
- Spatprodukt und Volumina

Die CAS-Aufgaben trainieren den Umgang mit dem Rechner für Vektoroperationen.

Dieses Thema bringt nichts Neues. Es prüft, welche Werkzeuge schon sitzen — und schickt dich genau dorthin zurück, wo es noch klemmt.

Ablauf:

1. Runden-Training (W-Phase). Pro Runde bekommst du je eine Aufgabe aus jedem Bereich. Nach jeder Runde siehst du eine Prozent-Tabelle — eine Spalte pro Bereich. Schreib sie ab, sie verschwindet beim Umschalten.
2. Gezieltes Training (E-Phase). Ab der zweiten Runde darfst du umschalten. Dann werden dir deine drei schwächsten Bereiche angeboten; zwei davon kannst du als adaptive Aufgabenfolge trainieren: richtig → schwerer, falsch → leichter.
3. Kapitel-Mix. Wer durch ist, nimmt den Aufgabenpool ganz unten — dort liegen auch die Teile, die in keinem Training vorkommen: Spurpunkte, die Lage zweier Ebenen, Flächen und Volumen und die CAS-Aufgaben.

Über jeder Aufgabe steht ein Link zum passenden Thema. Wenn du nicht weiterweißt: erst dort nachlesen, dann zurück zur Aufgabe.

Die drei Sätze, die das Kapitel zusammenhalten:

- Aus Punkten werden Vektoren, aus Vektoren wird alles andere. Jede Aufgabe fängt damit an, aus den gegebenen Punkten die passenden Verbindungsvektoren zu bilden. Danach entscheidet nur noch, welches der drei Produkte gefragt ist: Betrag (eine Länge), Skalarprodukt (eine Zahl, für Winkel) oder Kreuzprodukt (ein Vektor, für Flächen und Normalen).
- Jede Lagebeziehung ist ein Gleichungssystem. Gerade–Gerade, Gerade–Ebene, Punkt–Ebene: immer gleichsetzen, lösen und alle Zeilen prüfen. Keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele — daran hängt die Antwort, nicht an einer Formel.
- Die Form der Ebene wählst du nach der Frage. Parameterform zum Aufstellen, Koordinatenform zum Einsetzen und Prüfen, Normalenform für Winkel und Abstände. Umformen ist kein Selbstzweck, sondern der Schritt vor der eigentlichen Rechnung.

Dieses K-Set bearbeiten alle — im grundlegenden wie im erhöhten Anforderungsniveau. Es deckt die fünf Bereiche ab, die in jeder Klausur dieses Kapitels vorkommen.

Dieses K-Set bearbeitet nur der eA-Kurs. Es setzt das Training oben voraus: Kreuzprodukt, Ebenenformen, Winkel und Abstände bauen alle auf Betrag und Skalarprodukt auf.