1. Analytische Geometrie (Klasse 12/13)

In diesem Kurs lernst du die Analytische Geometrie im dreidimensionalen Raum:

- Punkte und Vektoren
- Skalarprodukt und Winkel
- Geraden und ihre Lagebeziehungen
- Ebenen in verschiedenen Darstellungsformen
- Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
- Winkel und Abstände (eA)
- Ebenenformen umwandeln (eA)

Ein Punkt im Raum wird durch drei Koordinaten beschrieben: $P(x|y|z)$.

Abstand zweier Punkte $P(p_1|p_2|p_3)$ und $Q(q_1|q_2|q_3)$:

$d(P,Q) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + (q_3-p_3)^2}$

Dies ist die Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf drei Dimensionen.

Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung im Raum:

$\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$

Vektor zwischen zwei Punkten:
$\vec{PQ} = \begin{pmatrix} q_1 - p_1 \\ q_2 - p_2 \\ q_3 - p_3 \end{pmatrix}$

Länge (Betrag) eines Vektors:
$|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind linear abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist:
$\vec{b} = r \cdot \vec{a}$

Eine Linearkombination ist: $\vec{c} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b}$

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$

Es gilt auch:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$

Daraus folgt der Winkel zwischen zwei Vektoren:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Orthogonalität: Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Mit Vektoren lassen sich geometrische Formen analysieren:

Dreiecke:
- Gleichschenklig: Zwei Seiten gleich lang
- Gleichseitig: Alle drei Seiten gleich lang
- Rechtwinklig: Ein Winkel = 90° (Skalarprodukt = 0)

Vierecke (über parallele Seiten):
- Parallelogramm: Gegenüberliegende Seiten parallel
- Raute: Parallelogramm mit gleichen Seitenlängen
- Rechteck: Parallelogramm mit rechten Winkeln
- Quadrat: Raute und Rechteck zugleich

Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren ergibt einen Vektor, der senkrecht auf beiden steht:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}$

Anwendungen:
- Flächeninhalt eines Parallelogramms: $A = |\vec{a} \times \vec{b}|$
- Flächeninhalt eines Dreiecks: $A = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$
- Normalenvektor einer Ebene

Mit dem Kreuzprodukt und dem Spatprodukt lassen sich Flächen und Volumina berechnen:

Spatprodukt:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$

Volumen eines Spats: $V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Volumen einer Pyramide: $V = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

Eine Gerade im Raum wird in Parameterform dargestellt:

$g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}$

- $\vec{p}$: Stützvektor (ein Punkt auf der Geraden)
- $\vec{u}$: Richtungsvektor
- $t \in \mathbb{R}$: Parameter

Gerade durch zwei Punkte $P$ und $Q$:
$g: \vec{x} = \vec{OP} + t \cdot \vec{PQ}$

Zwei Geraden $g$ und $h$ können zueinander folgende Lagebeziehungen haben:

Vorgehen: Gleichsetzen der Geradengleichungen → LGS lösen.

Eine Ebene im Raum wird in Parameterform dargestellt:

$E: \vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}$

- $\vec{p}$: Stützvektor
- $\vec{u}, \vec{v}$: Richtungsvektoren (linear unabhängig)
- $s, t \in \mathbb{R}$: Parameter

Ebene durch drei Punkte $P$, $Q$, $R$:
$E: \vec{x} = \vec{OP} + s \cdot \vec{PQ} + t \cdot \vec{PR}$

Punktprobe: Liegt ein Punkt $A$ auf der Ebene? Einsetzen und LGS lösen.

Eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$ können folgende Lagebeziehungen haben:

Vorgehen: Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen → LGS lösen.

Die Spurpunkte einer Geraden oder Ebene sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen:

- $S_{xy}$: Schnittpunkt mit der $xy$-Ebene ($z = 0$)
- $S_{xz}$: Schnittpunkt mit der $xz$-Ebene ($y = 0$)
- $S_{yz}$: Schnittpunkt mit der $yz$-Ebene ($x = 0$)

Eine Gerade hat höchstens 3 Spurpunkte, eine Ebene hat Spurgeraden (Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen).

Zwei Ebenen können zueinander folgende Lagebeziehungen haben:

Vorgehen: Ebenengleichungen gleichsetzen → LGS lösen.

Neben der Parameterform gibt es zwei weitere Darstellungen:

Normalenform:
$E: (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$

Koordinatenform:
$E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d$

Umwandlung:
- PF → NF: Normalenvektor $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$
- NF → KF: Ausmultiplizieren
- KF → NF: Normalenvektor ablesen, einen Punkt finden
- KF → PF: Drei Punkte auf der Ebene finden
- PF → KF: Über Normalenform oder Gleichungssystem

Winkel zwischen zwei Ebenen (über Normalenvektoren):
$\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$

Winkel zwischen Gerade und Ebene:
$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$

Achtung: Bei Gerade-Ebene wird $\sin$ statt $\cos$ verwendet!

Abstand Punkt–Gerade:
Lotfußpunkt bestimmen über Skalarprodukt-Bedingung: $\vec{PF} \cdot \vec{u} = 0$

Abstand windschiefer Geraden:
$d(g, h) = \frac{|(\vec{p_2} - \vec{p_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Viele Vektoroperationen lassen sich mit dem CAS-Taschenrechner effizient berechnen:

- Skalare Multiplikation, Addition, Subtraktion
- Betrag eines Vektors
- Skalarprodukt
- Kreuzprodukt
- Flächen von Parallelogrammen und Dreiecken
- Spatprodukt und Volumina

Die CAS-Aufgaben trainieren den Umgang mit dem Rechner für Vektoroperationen.