1. Zuordnungen

Bei einer Zuordnung gehört zu jedem Wert einer Größe genau ein Wert einer zweiten Größe.

Man schreibt sie mit dem Zuordnungspfeil:

$\text{Anzahl der Brötchen} \rightarrow \text{Preis}$

- Links steht die Ausgangsgröße (das, was man vorgibt).
- Rechts steht die zugeordnete Größe (das, was sich daraus ergibt).

Drei Darstellungsformen beschreiben dieselbe Zuordnung:

Wichtig: Eine Zuordnung ist nur dann brauchbar, wenn sie eindeutig ist – zu einem Ausgangswert darf nicht gleichzeitig 0,90 € und 1,20 € gehören.

Ob man die Punkte im Graphen verbinden darf, hängt von der Ausgangsgröße ab:

- Nur Punkte bei Größen, die nur ganze Zahlen annehmen: 3 Brötchen gibt es, 3,7 Brötchen nicht.
- Durchgezogene Linie bei Größen, die beliebige Zwischenwerte annehmen: Zeit, Länge, Masse, Füllmenge.

In der Zeichnung oben ist die Gerade deshalb nur gestrichelt eingezeichnet: Sie zeigt das Muster, gehört aber nicht vollständig zur Zuordnung.

Im Koordinatensystem wird aus jedem Wertepaar der Tabelle ein Punkt.

- Die waagerechte Achse (x-Achse) trägt die Ausgangsgröße.
- Die senkrechte Achse (y-Achse) trägt die zugeordnete Größe.

Ein Punkt wird als Koordinatenpaar geschrieben – erst $x$, dann $y$:

$P\,(\,x \mid y\,)$

So zeichnest du einen Punkt ein:

1. Suche den $x$-Wert auf der waagerechten Achse und gehe so weit nach rechts.
2. Gehe von dort so weit nach oben, wie der $y$-Wert angibt.
3. Setze dort ein deutliches Kreuz oder einen Punkt.

Merksatz: Erst zur Tür (nach rechts), dann die Treppe hoch.

Bevor du zeichnest, legst du die Achsen fest:

Ablesen ist das Einzeichnen rückwärts. Es gibt zwei Richtungen:

Die gestrichelten Hilfslinien heißen Lot. Zeichne sie mit dem Lineal – so verrutschst du nicht.

Zwei Stolperfallen:

- Reihenfolge: In $P(x \mid y)$ steht immer zuerst der Wert der waagerechten Achse. $(3\mid 5)$ und $(5\mid 3)$ sind zwei verschiedene Punkte.
- Genauigkeit: Aus einem Graphen liest man nur so genau ab, wie das Gitter es hergibt. Ein abgelesener Wert ist ein Schätzwert – gerechnete Werte sind genauer.

Bevor man rechnet, beschreibt man einen Zusammenhang oft zuerst in Worten:

> Je mehr Brötchen man kauft, desto höher ist der Preis.
> Je mehr Arbeiter mitarbeiten, desto kürzer ist die Arbeitszeit.

Solche Sätze sagen, in welche Richtung sich die zugeordnete Größe ändert, wenn die Ausgangsgröße größer wird.

So formuliert man einen Je-desto-Satz:

1. Ausgangsgröße benennen: „Je mehr Brötchen …"
2. Zugeordnete Größe benennen: „… desto höher der Preis."
3. Richtung prüfen: wird die zweite Größe größer („je mehr, desto mehr") oder kleiner („je mehr, desto weniger")?

Ein „Je …, desto …"-Satz beschreibt nur die Richtung – nicht die Art der Zuordnung.

- „Je mehr Brötchen, desto teurer" $\rightarrow$ je mehr, desto mehr und proportional (doppelt so viele Brötchen kosten doppelt so viel).
- „Je älter das Kind, desto größer" $\rightarrow$ je mehr, desto mehr, aber nicht proportional (ein 10-jähriges Kind ist nicht doppelt so groß wie ein 5-jähriges).
- „Je größer die Seitenlänge, desto größer die Quadratfläche" $\rightarrow$ je mehr, desto mehr, aber bei doppelter Seite wird die Fläche vierfach.

Merke: Erst die Richtung beschreiben (je …, desto …), dann rechnen (Quotientenprobe oder Produktprobe) und erst danach urteilen, ob die Zuordnung proportional oder antiproportional ist.

Eine Zuordnung heißt proportional, wenn gilt:

Zum Doppelten (Dreifachen, …) der einen Größe gehört das Doppelte (Dreifache, …) der anderen Größe.

Daran erkennt man sie:

Das Nachrechnen der Quotienten heißt Quotientenprobe: $y : x$ für jedes Wertepaar der Tabelle ausrechnen und vergleichen. Ein einziger abweichender Quotient genügt – dann ist die Zuordnung nicht proportional.

Die Zahl $k$ heißt Proportionalitätsfaktor. Man berechnet sie als

$k = \frac{y}{x}$

Der Proportionalitätsfaktor hat immer eine Bedeutung im Sachzusammenhang – z. B. „Preis pro Stück", „Strecke pro Stunde".

Zwei häufige Fehlerquellen:

1. Grundgebühr macht die Zuordnung nicht-proportional.
Ein Taxi verlangt 3,50 € Grundgebühr und 1,20 € pro Kilometer. Der Graph ist eine Gerade – aber sie geht nicht durch den Ursprung. Die Quotienten $\frac{y}{x}$ sind nicht gleich, also ist die Zuordnung nicht proportional. Solche Zuordnungen heißen ab Klasse 8 lineare Funktionen.

2. „Mehr wird mehr" reicht nicht.
Auch beim Wachstum eines Kindes gilt: Je älter, desto größer. Trotzdem ist Alter $\rightarrow$ Körpergröße nicht proportional – ein 10-jähriges Kind ist nicht doppelt so groß wie ein 5-jähriges.

Merke: Erst rechnen (Quotientenprobe), dann urteilen.

Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn gilt:

Zum Doppelten (Dreifachen, …) der einen Größe gehört die Hälfte (ein Drittel, …) der anderen Größe.

Daran erkennt man sie:

Das Gegenstück zur Quotientenprobe heißt hier Produktprobe: $x \cdot y$ für jedes Wertepaar ausrechnen und vergleichen.

Auch hier hat $k$ eine Bedeutung im Sachzusammenhang: Bei „Anzahl der Arbeiter $\rightarrow$ Arbeitszeit" ist $k$ die gesamte Arbeit in Arbeitsstunden.

Bei einer Wertetabelle geht man in dieser Reihenfolge vor:

1. Quotientenprobe: $\frac{y}{x}$ für jedes Wertepaar berechnen. Alle gleich? $\Rightarrow$ proportional, $k = \frac{y}{x}$.
2. Produktprobe: $x \cdot y$ für jedes Wertepaar berechnen. Alle gleich? $\Rightarrow$ antiproportional, $k = x \cdot y$.
3. Weder noch? Sind weder alle Quotienten noch alle Produkte gleich, gehört die Zuordnung zu keinem der beiden Typen. Auf Arbeitsblättern und in Tests steht dafür kurz weder noch.

Am Graphen erkennt man den Typ oft schneller:

Beim Dreisatz sind drei Werte bekannt und der vierte wird gesucht. Man rechnet in drei Schritten über den Einheitswert (den Wert für 1).

Beispiel: 6 Hefte kosten 4,50 €. Was kosten 10 Hefte?

Faustregel: Bei proportionalen Zuordnungen wird in Schritt 2 geteilt und in Schritt 3 multipliziert – beide Größen ändern sich in dieselbe Richtung.

Hier ist genau ein Schritt anders: Der Weg über den Einheitswert wird umgekehrt gerechnet.

Beispiel: 5 Pumpen leeren ein Becken in 6 Stunden. Wie lange brauchen 3 Pumpen?

Faustregel: Bei antiproportionalen Zuordnungen wird in Schritt 2 multipliziert und in Schritt 3 geteilt – die Größen ändern sich in entgegengesetzte Richtungen.

Kontrolle: Weniger Pumpen $\Rightarrow$ mehr Zeit. 10 h > 6 h – das Ergebnis ist plausibel.

In Textaufgaben steht der Typ der Zuordnung nie direkt da. Diese vier Fragen führen zum Ziel:

1. Welche beiden Größen werden einander zugeordnet?
2. Was passiert mit der zweiten Größe, wenn die erste verdoppelt wird – verdoppelt sie sich (proportional) oder halbiert sie sich (antiproportional)?
3. Gibt es einen festen Anteil, der unabhängig von der ersten Größe anfällt (Grundgebühr, Startguthaben)? Dann gilt weder noch.
4. Ist das Ergebnis plausibel? Größenordnung und Richtung prüfen.

Typische Beispiele:

Dieses Thema bringt nichts Neues. Es prüft, welche der sieben Themen schon sitzen — und schickt dich genau dorthin zurück, wo es noch klemmt.

Ablauf:

1. Runden-Training (W-Phase). Pro Runde bekommst du je eine Aufgabe aus fünf Bereichen: Darstellungen, Typ erkennen, Proportional, Antiproportional, Dreisatz. Nach jeder Runde siehst du eine Prozent-Tabelle — eine Spalte pro Bereich.
2. Gezieltes Training (E-Phase). Ab der zweiten Runde darfst du umschalten. Dann werden dir deine drei schwächsten Bereiche angeboten; zwei davon kannst du als adaptive Aufgabenfolge trainieren: richtig → schwerer, falsch → leichter.
3. Kapitel-Mix. Wer durch ist, nimmt den Aufgabenpool darunter — dort liegen alle Aufgabentypen des Kapitels gemischt, auch die, die im Training nicht vorkommen.

Über jeder Aufgabe steht ein Link zum passenden Thema. Wenn du nicht weiterweißt: erst dort nachlesen, dann zurück zur Aufgabe.

Die drei Sätze, die alles zusammenhalten:

- Ein Je-desto-Satz nennt nur die Richtung. Er entscheidet noch nicht, welcher Typ vorliegt — „je mehr GB, desto teurer" gilt auch für den Tarif mit Grundgebühr, und der ist nicht proportional.
- Proportional heißt Quotientengleichheit: $y : x = k$ für alle Paare. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung — null Einheiten kosten null Euro.
- Antiproportional heißt Produktgleichheit: $x \cdot y = k$ für alle Paare. Der Graph ist eine Hyperbel; sie nähert sich den Achsen an, erreicht sie aber nie — mit null Helfern wird die Arbeit nie fertig.