Bei einer Zuordnung gehört zu jedem Wert einer Größe genau ein Wert einer zweiten Größe.
Man schreibt sie mit dem Zuordnungspfeil:
$\text{Anzahl der Brötchen} \rightarrow \text{Preis}$
- Links steht die Ausgangsgröße (das, was man vorgibt).
- Rechts steht die zugeordnete Größe (das, was sich daraus ergibt).
Drei Darstellungsformen beschreiben dieselbe Zuordnung:
| Darstellung | Was man sieht |
|---|---|
| Tabelle | einzelne Wertepaare, gut zum Rechnen |
| Graph | den Verlauf im Koordinatensystem, gut zum Vergleichen |
| Zuordnungsvorschrift | die Rechenregel, gut zum Vorhersagen |
Wichtig: Eine Zuordnung ist nur dann brauchbar, wenn sie eindeutig ist – zu einem Ausgangswert darf nicht gleichzeitig 0,90 € und 1,20 € gehören.
Ein Brötchen kostet 0,45 €.
1. Tabelle
| Anzahl $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Preis $y$ in € | 0,45 | 0,90 | 1,35 | 1,80 | 2,25 | 2,70 |
2. Zuordnungsvorschrift
$x \rightarrow 0{,}45 \cdot x \qquad \text{oder} \qquad y = 0{,}45 \cdot x$
3. Graph: siehe unten – alle Punkte liegen auf einer Geraden durch den Ursprung.
Vorhersage mit der Vorschrift: 20 Brötchen kosten $0{,}45 \cdot 20 = 9{,}00$ €.
Ob man die Punkte im Graphen verbinden darf, hängt von der Ausgangsgröße ab:
- Nur Punkte bei Größen, die nur ganze Zahlen annehmen: 3 Brötchen gibt es, 3,7 Brötchen nicht.
- Durchgezogene Linie bei Größen, die beliebige Zwischenwerte annehmen: Zeit, Länge, Masse, Füllmenge.
In der Zeichnung oben ist die Gerade deshalb nur gestrichelt eingezeichnet: Sie zeigt das Muster, gehört aber nicht vollständig zur Zuordnung.
a) Ein Liter Milch kostet 1,20 €. Erstelle eine Tabelle für 1 bis 6 Liter und gib die Zuordnungsvorschrift an.
b) Ein Auto fährt mit konstant 80 km/h. Ordne der Fahrzeit die zurückgelegte Strecke zu. Zeichne den Graphen für 0 h bis 4 h. Darf man hier die Punkte verbinden? Begründe.
c) Beschreibe in Worten, welche Zuordnung dieser Graph darstellt:
| Zeit in min | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| Wassermenge in l | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 |
d) Warum ist „Schülerin $\rightarrow$ Lieblingsfach" eine eindeutige Zuordnung, „Lieblingsfach $\rightarrow$ Schülerin" aber nicht?
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Eine Zuordnung heißt proportional, wenn gilt:
Zum Doppelten (Dreifachen, …) der einen Größe gehört das Doppelte (Dreifache, …) der anderen Größe.
Daran erkennt man sie:
| Merkmal | Bedeutung |
|---|---|
| Quotientengleichheit | $\dfrac{y}{x} = k$ ist für alle Wertepaare gleich |
| Vorschrift | $y = k \cdot x$ |
| Graph | Gerade durch den Ursprung $(0\mid 0)$ |
Die Zahl $k$ heißt Proportionalitätsfaktor. Man berechnet sie als
$k = \frac{y}{x}$
Der Proportionalitätsfaktor hat immer eine Bedeutung im Sachzusammenhang – z. B. „Preis pro Stück", „Strecke pro Stunde".
Für 4 kg Äpfel zahlt man 7,00 €.
| Masse $x$ in kg | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Preis $y$ in € | 3,50 | 7,00 | 10,50 | 17,50 |
Quotienten prüfen:
$\frac{3{,}50}{2} = 1{,}75 \qquad \frac{7{,}00}{4} = 1{,}75 \qquad \frac{10{,}50}{6} = 1{,}75$
Alle Quotienten sind gleich $\Rightarrow$ die Zuordnung ist proportional mit $k = 1{,}75$.
Bedeutung von $k$: 1,75 € pro Kilogramm.
Vorschrift: $y = 1{,}75 \cdot x$, also kosten 12 kg: $1{,}75 \cdot 12 = 21{,}00$ €.
Zwei häufige Fehlerquellen:
1. Grundgebühr macht die Zuordnung nicht-proportional.
Ein Taxi verlangt 3,50 € Grundgebühr und 1,20 € pro Kilometer. Der Graph ist eine Gerade – aber sie geht nicht durch den Ursprung. Die Quotienten $\frac{y}{x}$ sind nicht gleich, also ist die Zuordnung nicht proportional. Solche Zuordnungen heißen ab Klasse 8 lineare Funktionen.
2. „Mehr wird mehr" reicht nicht.
Auch beim Wachstum eines Kindes gilt: Je älter, desto größer. Trotzdem ist Alter $\rightarrow$ Körpergröße nicht proportional – ein 10-jähriges Kind ist nicht doppelt so groß wie ein 5-jähriges.
Merke: Erst rechnen (Quotienten vergleichen), dann urteilen.
a) Prüfe durch Quotientenvergleich, ob die Zuordnung proportional ist. Gib bei proportionalen Zuordnungen $k$ und die Vorschrift an.
| $x$ | 3 | 5 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 7,5 | 12,5 | 20 | 30 |
| $x$ | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 5 | 9 | 13 | 17 |
b) 250 g Kaffee kosten 4,75 €. Berechne den Preis für 1 kg und gib die Zuordnungsvorschrift an.
c) Ein Kopierer schafft 18 Seiten pro Minute. Wie lange braucht er für 300 Seiten?
d) Entscheide jeweils mit Begründung, ob die Zuordnung proportional ist:
Anzahl der Eintrittskarten $\rightarrow$ Gesamtpreis ·
Seitenlänge eines Quadrats $\rightarrow$ Flächeninhalt ·
Handytarif mit 5 € Grundgebühr: Datenvolumen $\rightarrow$ Monatsrechnung
e) Der Graph einer proportionalen Zuordnung geht durch $P(6\mid 15)$. Bestimme $k$ und den $y$-Wert zu $x = 10$.
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Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn gilt:
Zum Doppelten (Dreifachen, …) der einen Größe gehört die Hälfte (ein Drittel, …) der anderen Größe.
Daran erkennt man sie:
| Merkmal | Bedeutung |
|---|---|
| Produktgleichheit | $x \cdot y = k$ ist für alle Wertepaare gleich |
| Vorschrift | $y = \dfrac{k}{x}$ |
| Graph | Hyperbel – fällt, wird immer flacher, berührt keine Achse |
Auch hier hat $k$ eine Bedeutung im Sachzusammenhang: Bei „Anzahl der Arbeiter $\rightarrow$ Arbeitszeit" ist $k$ die gesamte Arbeit in Arbeitsstunden.
4 Maler streichen eine Halle in 12 Tagen.
| Anzahl Maler $x$ | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Zeit $y$ in Tagen | 24 | 16 | 12 | 8 | 6 | 4 |
Produkte prüfen:
$2 \cdot 24 = 48 \qquad 3 \cdot 16 = 48 \qquad 6 \cdot 8 = 48$
Alle Produkte sind gleich $\Rightarrow$ die Zuordnung ist antiproportional mit $k = 48$.
Bedeutung von $k$: Die Arbeit umfasst 48 „Maler-Tage".
Vorschrift: $y = \dfrac{48}{x}$, also brauchen 16 Maler: $\dfrac{48}{16} = 3$ Tage.
Grenzen des Modells: 48 Maler wären in einem Tag fertig, 96 Maler in einem halben – irgendwann stehen sie sich gegenseitig im Weg. Das Modell passt nur in einem sinnvollen Bereich.
Bei einer Wertetabelle geht man in dieser Reihenfolge vor:
1. Quotienten $\frac{y}{x}$ berechnen. Alle gleich? $\Rightarrow$ proportional, $k = \frac{y}{x}$.
2. Produkte $x \cdot y$ berechnen. Alle gleich? $\Rightarrow$ antiproportional, $k = x \cdot y$.
3. Weder noch? $\Rightarrow$ Die Zuordnung ist von keinem der beiden Typen.
Am Graphen erkennt man den Typ oft schneller:
| Graph | Typ |
|---|---|
| Gerade durch den Ursprung | proportional |
| Hyperbel (fallend, wird flacher) | antiproportional |
| Gerade, die die $y$-Achse oberhalb von 0 schneidet | keines von beiden (lineare Funktion) |
a) Entscheide durch Rechnung, ob die Zuordnung proportional, antiproportional oder keines von beiden ist. Gib jeweils $k$ und die Vorschrift an, wenn möglich.
| $x$ | 2 | 4 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 30 | 15 | 12 | 6 |
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 4 | 7 | 10 | 13 |
| $x$ | 2 | 5 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 4,4 | 11 | 15,4 | 19,8 |
b) Ein Vorrat Heu reicht für 12 Pferde 20 Tage. Wie lange reicht er für 15 Pferde? Für wie viele Pferde reicht er 30 Tage?
c) Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 36 cm². Ordne der Länge die Breite zu. Erstelle eine Tabelle mit fünf Wertepaaren und zeichne den Graphen.
d) Warum kann der Graph einer antiproportionalen Zuordnung die $x$-Achse nie erreichen? Begründe mit der Vorschrift $y = \frac{k}{x}$.
e) Ein Bus fährt eine Strecke von 240 km. Ordne der Durchschnittsgeschwindigkeit die Fahrzeit zu. Bestimme $k$ und die Fahrzeit bei 60 km/h, 80 km/h und 100 km/h.
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Beim Dreisatz sind drei Werte bekannt und der vierte wird gesucht. Man rechnet in drei Schritten über den Einheitswert (den Wert für 1).
Beispiel: 6 Hefte kosten 4,50 €. Was kosten 10 Hefte?
| Schritt | Rechnung | Bedeutung |
|---|---|---|
| 1. Gegeben | 6 Hefte $\rightarrow$ 4,50 € | Ausgangswerte notieren |
| 2. Einheitswert | $4{,}50 : 6 = 0{,}75$ | 1 Heft $\rightarrow$ 0,75 € |
| 3. Gesucht | $0{,}75 \cdot 10 = 7{,}50$ | 10 Hefte $\rightarrow$ 7,50 € |
Faustregel: Bei proportionalen Zuordnungen wird in Schritt 2 geteilt und in Schritt 3 multipliziert – beide Größen ändern sich in dieselbe Richtung.
Hier ist genau ein Schritt anders: Der Weg über den Einheitswert wird umgekehrt gerechnet.
Beispiel: 5 Pumpen leeren ein Becken in 6 Stunden. Wie lange brauchen 3 Pumpen?
| Schritt | Rechnung | Bedeutung |
|---|---|---|
| 1. Gegeben | 5 Pumpen $\rightarrow$ 6 h | Ausgangswerte notieren |
| 2. Einheitswert | $6 \cdot 5 = 30$ | 1 Pumpe $\rightarrow$ 30 h |
| 3. Gesucht | $30 : 3 = 10$ | 3 Pumpen $\rightarrow$ 10 h |
Faustregel: Bei antiproportionalen Zuordnungen wird in Schritt 2 multipliziert und in Schritt 3 geteilt – die Größen ändern sich in entgegengesetzte Richtungen.
Kontrolle: Weniger Pumpen $\Rightarrow$ mehr Zeit. 10 h > 6 h – das Ergebnis ist plausibel.
Beide Aufgaben sehen fast gleich aus – der Typ entscheidet über den Rechenweg.
Aufgabe A: 3 kg Kartoffeln kosten 2,40 €. Was kosten 7 kg?
Mehr Kartoffeln $\Rightarrow$ mehr Geld: proportional.
$2{,}40 : 3 = 0{,}80 \qquad 0{,}80 \cdot 7 = 5{,}60 \quad \Rightarrow \quad 5{,}60\ \text{€}$
Aufgabe B: 3 Bagger brauchen 8 Tage. Wie lange brauchen 7 Bagger?
Mehr Bagger $\Rightarrow$ weniger Zeit: antiproportional.
$8 \cdot 3 = 24 \qquad 24 : 7 \approx 3{,}4 \quad \Rightarrow \quad \text{etwa } 3{,}4\ \text{Tage}$
Typischer Fehler: Bei B den proportionalen Weg zu rechnen ($8 : 3 \cdot 7 \approx 18{,}7$ Tage) – dann bräuchten mehr Bagger länger. Die Plausibilitätsprüfung deckt das sofort auf.
a) 8 m Stoff kosten 27,20 €. Was kosten 5 m?
b) 4 Arbeiter pflastern einen Hof in 15 Tagen. Wie lange brauchen 10 Arbeiter?
c) Ein Auto verbraucht auf 100 km 6,4 l Benzin. Wie weit kommt es mit 40 l?
d) Ein Zug legt eine Strecke bei 120 km/h in 3,5 h zurück. Wie lange braucht er bei 90 km/h?
e) 12 Kisten Wasser wiegen 156 kg. Wie viele Kisten wiegen 91 kg?
f) Entscheide zuerst den Typ, rechne dann und prüfe das Ergebnis auf Plausibilität:
Ein Futtervorrat reicht für 9 Hühner 24 Tage. Der Bauer kauft 3 Hühner dazu. Wie lange reicht der Vorrat jetzt?
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In Textaufgaben steht der Typ der Zuordnung nie direkt da. Diese vier Fragen führen zum Ziel:
1. Welche beiden Größen werden einander zugeordnet?
2. Was passiert mit der zweiten Größe, wenn die erste verdoppelt wird – verdoppelt sie sich (proportional) oder halbiert sie sich (antiproportional)?
3. Gibt es einen festen Anteil, der unabhängig von der ersten Größe anfällt (Grundgebühr, Startguthaben)? Dann ist die Zuordnung keines von beiden.
4. Ist das Ergebnis plausibel? Größenordnung und Richtung prüfen.
Typische Beispiele:
| Sachsituation | Typ |
|---|---|
| Menge $\rightarrow$ Preis (ohne Grundgebühr) | proportional |
| Zeit $\rightarrow$ Strecke bei konstantem Tempo | proportional |
| Geschwindigkeit $\rightarrow$ Fahrzeit bei fester Strecke | antiproportional |
| Anzahl Personen $\rightarrow$ Arbeitszeit für dieselbe Arbeit | antiproportional |
| Anzahl Personen $\rightarrow$ Kosten pro Person bei fester Gesamtmiete | antiproportional |
| Handytarif mit Grundgebühr: Datenmenge $\rightarrow$ Rechnung | keines von beiden |
| Alter $\rightarrow$ Körpergröße | keines von beiden |
a) Eine Klasse mietet einen Bus für 288 €. Ordne der Anzahl der mitfahrenden Schüler den Preis pro Person zu. Welcher Typ liegt vor? Erstelle eine Tabelle für 12, 16, 18 und 24 Schüler.
b) Ein Handytarif kostet 8 € Grundgebühr plus 3 € pro GB Datenvolumen. Stelle eine Tabelle für 0 bis 5 GB auf, zeichne den Graphen und begründe, warum die Zuordnung nicht proportional ist.
c) Ein Wasserhahn füllt eine Wanne mit 250 l in 20 Minuten.
Wie lange dauert es bei einem Hahn mit der doppelten Durchflussmenge?
Wie viel Wasser fließt in 35 Minuten aus dem ersten Hahn?
d) Auf einer Karte im Maßstab 1 : 25 000 sind zwei Orte 8 cm voneinander entfernt. Wie weit sind sie in der Wirklichkeit auseinander? Welche Art von Zuordnung nutzt du?
e) Sortiere die folgenden Sachsituationen in eine Tabelle mit den Spalten proportional, antiproportional, keines von beiden und begründe jede Zuordnung:
Anzahl gekaufter Fahrkarten $\rightarrow$ Gesamtpreis ·
Anzahl der Mitspieler $\rightarrow$ Spielzeit pro Person bei 90 min Gesamtzeit ·
Anzahl der Tage im Fitnessstudio pro Monat $\rightarrow$ Monatsbeitrag ·
Kantenlänge eines Würfels $\rightarrow$ Volumen ·
Anzahl der Kopien $\rightarrow$ Papierverbrauch
Alle Zuordnungen dieses Kapitels sind bereits Funktionen – denn zu jedem Ausgangswert gehört genau ein zugeordneter Wert. Ab Klasse 8 wird nur die Sprache genauer:
| Klasse 7 | ab Klasse 8 |
|---|---|
| Zuordnungsvorschrift $x \rightarrow k \cdot x$ | Funktionsgleichung $f(x) = m \cdot x$ |
| Proportionalitätsfaktor $k$ | Steigung $m$ |
| Gerade durch den Ursprung | proportionale Funktion ($b = 0$) |
| Gerade mit Grundgebühr | lineare Funktion $f(x) = m \cdot x + b$ |
| Hyperbel $y = \frac{k}{x}$ | umgekehrt proportionale Funktion |
Die Grundgebühr aus dem Handytarif wird also zum $y$-Achsenabschnitt $b$, und der Preis pro GB zur Steigung $m$. Wer hier den Proportionalitätsfaktor sicher bestimmen kann, hat die Steigung schon verstanden.