1. Wurzeln, Irrationalität und Zahlbereiche

Beim Quadrieren rechnest du $3^2 = 9$. Beim Wurzelziehen gehst du den Weg zurück:

$\sqrt{9} = 3 \quad \text{denn} \quad 3^2 = 9$

Definition: Die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ ist diejenige nicht negative Zahl, deren Quadrat $a$ ergibt.

$\sqrt{a} = b \quad \Longleftrightarrow \quad b^2 = a \ \text{ und } \ b \ge 0$

Sprechweisen:
- $a$ heißt Radikand (die Zahl unter der Wurzel)
- $\sqrt{\ }$ heißt Wurzelzeichen

Wichtig:
- Aus negativen Zahlen kann man keine Quadratwurzel ziehen: $\sqrt{-4}$ ist nicht definiert.
- $\sqrt{9} = 3$ und nicht $\pm 3$. Die Gleichung $x^2 = 9$ hat dagegen die zwei Lösungen $x = 3$ und $x = -3$.

Die meisten Radikanden sind keine Quadratzahlen. Dann liegt die Wurzel zwischen zwei ganzen Zahlen — und die kannst du sofort angeben:

$4 < 7 < 9 \quad \Longrightarrow \quad \sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9} \quad \Longrightarrow \quad 2 < \sqrt{7} < 3$

Das funktioniert, weil das Wurzelziehen die Reihenfolge der Zahlen nicht verändert: Je größer der Radikand, desto größer die Wurzel.

Vorgehen:
1. Suche die nächstkleinere Quadratzahl unter dem Radikanden.
2. Suche die nächstgrößere Quadratzahl über dem Radikanden.
3. Ziehe aus beiden die Wurzel — fertig ist die erste Abschätzung.

Das Intervallhalbierungsverfahren (auch Bisektion oder Intervallschachtelung) presst die gesuchte Wurzel Schritt für Schritt in immer kleinere Intervalle.

Ablauf für $\sqrt{a}$:

1. Start: Finde ein Intervall $[u; o]$ mit $u^2 < a < o^2$. Dann liegt $\sqrt{a}$ sicher dazwischen.
2. Mitte berechnen: $m = \dfrac{u + o}{2}$
3. Testen: Berechne $m^2$ und vergleiche mit $a$:
- Ist $m^2 < a$, dann ist $m$ zu klein → neues Intervall $[m; o]$
- Ist $m^2 > a$, dann ist $m$ zu groß → neues Intervall $[u; m]$
4. Wiederholen ab Schritt 2.

Warum das funktioniert: In jedem Schritt halbiert sich die Länge des Intervalls. Die gesuchte Wurzel bleibt dabei immer eingesperrt. Nach $n$ Schritten ist das Intervall nur noch $\dfrac{o - u}{2^n}$ lang — es wird also beliebig klein.

Das Heron-Verfahren (nach Heron von Alexandria, ca. 60 n. Chr.) ist die geometrische Idee hinter einer der schnellsten Wurzelnäherungen.

Die Idee: Gesucht ist $\sqrt{a}$ — also die Seitenlänge eines Quadrats mit dem Flächeninhalt $a$.

Starte mit einem Rechteck mit dem Flächeninhalt $a$:
- Wähle eine beliebige Länge $a_1 > 0$.
- Die zugehörige Breite ist dann $b_1 = \dfrac{a}{a_1}$, denn $a_1 \cdot b_1 = a$.

Ist das Rechteck noch kein Quadrat, dann ist eine Seite zu lang und die andere zu kurz — die gesuchte Wurzel liegt dazwischen. Nimm als neue Länge den Mittelwert beider Seiten:

$a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{a}{a_n}\right)$

Das neue Rechteck hat wieder den Flächeninhalt $a$, ist aber "quadratischer" als das alte. Nach wenigen Schritten ist es vom Quadrat kaum noch zu unterscheiden.

Rekursionsformel:

$\boxed{a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{a}{a_n}\right)}$

Bei jedem Heron-Schritt verdoppelt sich ungefähr die Anzahl der korrekten Nachkommastellen:

Man nennt das quadratische Konvergenz. Bei der Intervallhalbierung kommt dagegen pro Schritt nur ein festes Stück Genauigkeit dazu (das Intervall halbiert sich) — das heißt lineare Konvergenz.

Merksatz: Intervallhalbierung ist der sichere Fußmarsch, Heron ist der Sprint. Beide kommen ans Ziel, Heron aber sehr viel schneller.

Bisher kanntest du Bruchzahlen — Zahlen, die sich als $\frac{p}{q}$ mit ganzen Zahlen $p$ und $q \neq 0$ schreiben lassen. Diese heißen rationale Zahlen.

Man erkennt sie an ihrer Dezimaldarstellung:

Merkregel: Eine Zahl ist genau dann rational, wenn ihre Dezimaldarstellung abbricht oder periodisch ist.

$\sqrt{2}$ tut weder das eine noch das andere:

$\sqrt{2} = 1{,}41421356237309504880\ldots$

Die Nachkommastellen brechen nie ab und wiederholen sich nie in einer Periode. Solche Zahlen heißen irrational ("nicht als Verhältnis darstellbar").

Dass $\sqrt{2}$ wirklich kein Bruch ist, kann man beweisen — mit einem Widerspruchsbeweis.

Annahme: $\sqrt{2}$ wäre rational. Dann gäbe es einen vollständig gekürzten Bruch mit

$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$

Schritt 1 — Quadrieren:
$2 = \frac{p^2}{q^2} \quad \Longrightarrow \quad p^2 = 2q^2$

Schritt 2 — $p$ muss gerade sein:
$p^2$ ist das Doppelte von $q^2$, also gerade. Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist aber immer ungerade. Also ist $p$ gerade, d. h. $p = 2k$.

Schritt 3 — Einsetzen:
$(2k)^2 = 2q^2 \quad \Longrightarrow \quad 4k^2 = 2q^2 \quad \Longrightarrow \quad q^2 = 2k^2$

Schritt 4 — Also ist auch $q$ gerade:
Mit derselben Begründung wie in Schritt 2 folgt: $q$ ist gerade.

Widerspruch: $p$ und $q$ sind beide gerade — der Bruch war also nicht vollständig gekürzt. Das widerspricht unserer Annahme.

Folgerung: Es kann keinen solchen Bruch geben. $\sqrt{2}$ ist irrational. $\blacksquare$

Jeder Zahlbereich entsteht, weil eine Rechnung im alten Bereich nicht lösbar war:

ℕ — Natürliche Zahlen
$\mathbb{N} = \{0;\ 1;\ 2;\ 3;\ \ldots\}$
Zum Zählen. Problem: $3 - 5$ hat keine Lösung.

ℤ — Ganze Zahlen
$\mathbb{Z} = \{\ldots;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2;\ \ldots\}$
Jetzt ist jede Subtraktion lösbar. Problem: $3 : 5$ hat keine Lösung.

ℚ — Rationale Zahlen
$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \ \middle|\ p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{Z},\ q \neq 0 \right\}$
Jetzt ist jede Division (außer durch 0) lösbar. Problem: $x^2 = 2$ hat keine Lösung.

ℝ — Reelle Zahlen
$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\text{irrationale Zahlen}\}$
Alle Punkte der Zahlengeraden. Jetzt ist auch $\sqrt{2}$ eine Zahl.

Es gilt:
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Jeder Bereich enthält alle vorherigen vollständig — nichts geht verloren, es kommt nur etwas dazu.

Zeichnet man alle rationalen Zahlen auf die Zahlengerade, entsteht ein verblüffendes Bild:

Zwischen je zwei rationalen Zahlen liegt immer noch eine weitere (nämlich ihr Mittelwert). Die rationalen Zahlen liegen also beliebig dicht.

Trotzdem hat diese Gerade Löcher: An der Stelle $\sqrt{2}$ ist keine rationale Zahl — obwohl man den Punkt mit Zirkel und Lineal exakt konstruieren kann (Diagonale im Einheitsquadrat).

Erst die reellen Zahlen ℝ füllen alle Löcher. Man sagt: ℝ ist vollständig oder die Zahlengerade ist lückenlos. Jedem Punkt der Geraden entspricht genau eine reelle Zahl und umgekehrt.

Eine Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen:

$a_1;\ a_2;\ a_3;\ a_4;\ \ldots$

Die einzelnen Zahlen heißen Glieder der Folge, der Index gibt die Position an. Eine Folge kann man auf zwei Arten festlegen:

1. Explizit — Formel für das $n$-te Glied:
$a_n = \frac{1}{n} \quad \Longrightarrow \quad 1;\ \tfrac{1}{2};\ \tfrac{1}{3};\ \tfrac{1}{4};\ \ldots$

2. Rekursiv — jedes Glied aus dem vorherigen:
$a_1 = 2, \qquad a_{n+1} = \tfrac{1}{2}\left(a_n + \tfrac{2}{a_n}\right)$

Die zweite Folge kennst du schon — es ist die Heron-Folge für $\sqrt{2}$.

Wenn sich die Glieder einer Folge einer festen Zahl $g$ immer weiter annähern und ihr dabei beliebig nahe kommen, dann heißt $g$ der Grenzwert der Folge. Man schreibt:

$\lim_{n \to \infty} a_n = g$

Gelesen: "Limes von $a_n$ für $n$ gegen unendlich ist $g$."

Eine Folge mit Grenzwert heißt konvergent, eine Folge ohne Grenzwert divergent.

Was "beliebig nahe" bedeutet: Egal wie klein du eine Genauigkeit vorgibst — irgendwann liegen alle weiteren Folgenglieder innerhalb dieser Genauigkeit um $g$ herum, und sie verlassen diesen Bereich nie wieder.

Beispiele:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1$

Die Folge $a_n = n^2$ divergiert (wächst unbeschränkt), die Folge $a_n = (-1)^n$ divergiert ebenfalls (sie pendelt und kommt keiner Zahl nahe).

Jetzt schließt sich der Kreis: Die beiden Näherungsverfahren aus diesem Kapitel erzeugen Folgen, deren Grenzwert genau die gesuchte Wurzel ist.

Heron-Folge für $\sqrt{2}$:
$2;\quad 1{,}5;\quad 1{,}41\overline{6};\quad 1{,}4142156\ldots;\quad 1{,}41421356\ldots$
$\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{2}$

Intervallhalbierung: Die Folge der unteren Grenzen und die Folge der oberen Grenzen laufen von beiden Seiten auf $\sqrt{2}$ zu. Weil die Intervalllänge gegen 0 geht, haben beide denselben Grenzwert.

Das ist die eigentliche Bedeutung: Alle Glieder der Heron-Folge sind rationale Zahlen (Brüche!). Ihr Grenzwert $\sqrt{2}$ ist es aber nicht. Genau so bekommt man irrationale Zahlen in den Griff: Eine irrationale Zahl ist der Grenzwert einer Folge rationaler Näherungen.