1. Schriftliches Rechnen

Alle vier schriftlichen Rechenverfahren beruhen auf derselben Idee: Du zerlegst große Zahlen in ihre Stellen und rechnest jede Stelle für sich.

Unser Zahlensystem ist ein Stellenwertsystem. Die Ziffer allein sagt noch nichts – erst ihr Platz bestimmt, wie viel sie zählt:

Die Ziffer 7 in 47 385 hat den Wert 7 000. Verschiebst du sie um eine Stelle, wird ein Zehntel oder ein Zehnfaches daraus.

Deshalb die wichtigste Regel beim schriftlichen Rechnen:

> Einer unter Einer, Zehner unter Zehner, Hunderter unter Hunderter.

Nur dann darfst du Spalte für Spalte rechnen – denn nur Gleiches lässt sich mit Gleichem verrechnen.

Beim schriftlichen Addieren gehst du von rechts nach links, Spalte für Spalte.

1. Schreibe die Zahlen untereinander – Einer unter Einer.
2. Ziehe unter der letzten Zahl einen Strich.
3. Addiere die Einerspalte. Kommt eine Zahl über 9 heraus, schreibst du nur die Einerziffer hin.
4. Die Zehnerziffer ist der Übertrag. Du schreibst sie klein in die nächste Spalte links und addierst sie dort mit.
5. So weiter bis zur höchsten Stelle.

Der Übertrag ist nichts Geheimnisvolles: 10 Einer sind 1 Zehner. Statt „15 Einer" schreibst du „1 Zehner und 5 Einer" – und der Zehner wandert in die Nachbarspalte.

Bei zwei Summanden kann der Übertrag nur 0 oder 1 sein – zwei Ziffern ergeben höchstens 9 + 9 = 18.

Bei drei oder mehr Summanden wird er größer: 9 + 9 + 9 = 27, der Übertrag ist dann 2. Bei vier Summanden kann er 3 werden.

Das Verfahren ändert sich dadurch nicht. Nur eines musst du beachten: Der Übertrag ist immer die Zehnerziffer der Spaltensumme – nicht die Summe selbst.

Rechne die Spalte am besten in einem Zug durch und sprich dabei mit: „7 und 8 ist 15, und 6 ist 21."

Beim Subtrahieren gehst du wieder von rechts nach links. Der Minuend (die obere Zahl) steht über dem Subtrahenden (der unteren Zahl).

Oft reicht die obere Ziffer aber nicht aus. Dann entbündelst du: Du holst dir eine Einheit von der Stelle links daneben und zerlegst sie.

1 Zehner sind 10 Einer. 1 Hunderter sind 10 Zehner. Die Zahl wird dadurch nicht verändert – sie wird nur anders zerlegt.

So notierst du es:

1. Reicht die obere Ziffer nicht, streichst du sie durch.
2. Über der Nachbarstelle links schreibst du die um 1 verminderte Ziffer.
3. Über der Stelle, an der du rechnest, schreibst du die um 10 vergrößerte Ziffer.
4. Dann ziehst du ganz normal ab.

Die Probe ist eine Addition: Differenz + Subtrahend muss wieder den Minuenden ergeben.

Der häufigste Fehler beim Subtrahieren entsteht bei Nullen in der oberen Zahl.

Steht in der Nachbarspalte eine 0, kann sie nichts abgeben – sie hat selbst nichts. Du musst dann weiter nach links gehen, bis du eine Stelle findest, die etwas hergibt. Alle übersprungenen Nullen werden dabei zu 9.

Das klingt kompliziert, ist aber leicht zu verstehen: Aus 1 Tausender werden 10 Hunderter. Gibst du davon einen weiter, bleiben 9 Hunderter. Aus diesem einen Hunderter werden 10 Zehner – gibst du davon einen weiter, bleiben 9 Zehner. Und die 10 Einer landen ganz rechts.

> Merksatz: Beim Entbündeln über Nullen hinweg wird aus jeder 0 eine 9.

Der typische Fehler: Weil die Ziffer oben kleiner ist, wird einfach die untere von der oberen abgezogen – oder die untere Ziffer wird abgeschrieben. Das nennt man Umkehrfehler, und er fällt sofort auf, wenn du die Probe machst.

Auch beim Multiplizieren gehst du von rechts nach links durch die Stellen und arbeitest mit Überträgen.

1. Schreibe den ersten Faktor hin, dahinter das Malzeichen und den zweiten Faktor.
2. Multipliziere jede Stelle des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor – beginnend bei den Einern.
3. Ist ein Stellenprodukt größer als 9, schreibst du nur die Einerziffer hin. Die Zehnerziffer ist der Übertrag.
4. Der Übertrag wird beim nächsten Stellenprodukt dazugezählt – nicht dazumultipliziert.

Genau dieser vierte Punkt wird oft verwechselt: Erst mal nehmen, dann den Übertrag addieren.

Ist der zweite Faktor zweistellig, zerlegst du ihn in Zehner und Einer. Daraus entstehen zwei Teilprodukte, die du am Ende addierst.

In der in Deutschland üblichen Schreibweise beginnst du mit der Zehnerziffer:

1. Multipliziere den ersten Faktor mit der Zehnerziffer. Dieses Teilprodukt schreibst du ganz links unter den Strich.
2. Multipliziere den ersten Faktor mit der Einerziffer. Dieses Teilprodukt schreibst du um eine Stelle nach rechts versetzt darunter.
3. Ziehe einen Strich und addiere die beiden Teilprodukte schriftlich.

Warum die Versetzung? Die Zehnerziffer 4 in 45 bedeutet in Wirklichkeit 40. Das erste Teilprodukt zählt also zehnfach. Statt eine Null anzuhängen, rückt man es einfach eine Stelle nach links – das ist dasselbe und spart Schreibarbeit.

> Die leere Stelle rechts im ersten Teilprodukt ist die weggelassene Null.

Die Division ist das einzige der vier Verfahren, das von links nach rechts läuft.

In Deutschland schreibt man sie in einer Zeile: Dividend, Doppelpunkt, Divisor, Gleichheitszeichen – und dahinter entsteht Ziffer für Ziffer das Ergebnis. Die Zwischenschritte stehen darunter.

So gehst du vor:

1. Nimm von links so viele Ziffern des Dividenden, dass der Divisor hineinpasst.
2. Frage: Wie oft passt der Divisor hinein? Die Antwort ist die nächste Ziffer des Ergebnisses.
3. Multipliziere diese Ziffer mit dem Divisor und schreibe das Produkt darunter.
4. Ziehe ab.
5. Hole die nächste Ziffer des Dividenden herunter und beginne wieder bei Schritt 2.
6. Fertig bist du, wenn alle Ziffern heruntergeholt sind.

Die Probe ist eine Multiplikation: Ergebnis · Divisor muss wieder den Dividenden ergeben.

Passt der Divisor in einem Schritt gar nicht hinein, darfst du die Stelle nicht einfach überspringen. Dort gehört eine 0 ins Ergebnis – dann holst du die nächste Ziffer herunter und rechnest weiter.

Wer die Null vergisst, verschiebt das ganze restliche Ergebnis um eine Stelle nach links. Aus 4 025 wird dann 425 – ein Fehler um fast das Zehnfache, den der Überschlag sofort zeigt.

Nicht jede Division geht auf. Bleibt am Ende etwas übrig, ist das der Rest.

> Der Rest ist immer kleiner als der Divisor.

Wäre er so groß wie der Divisor oder größer, hättest du noch einmal teilen können – dann ist die Ergebnisziffer zu klein geraten. Diese Kontrolle solltest du dir angewöhnen: Ein Rest von 7 bei einer Division durch 5 ist immer ein Rechenfehler.

Die Probe bei Division mit Rest: Ergebnis · Divisor + Rest = Dividend.

Zweistelliger Divisor. Am Verfahren ändert sich nichts, aber „wie oft passt 23 in 147?" lässt sich nicht mehr aus dem Einmaleins ablesen. Hier hilft ein Überschlag: 23 ist ungefähr 20, und 20 passt 7-mal in 147. Probiere 6 – 6 · 23 = 138, das passt; 7 · 23 = 161 wäre zu viel.

Schriftliches Rechnen ist ein mechanisches Verfahren – und genau deshalb passieren dabei Fehler, ohne dass man es merkt. Zwei Kontrollen helfen zuverlässig:

1. Der Überschlag – vorher. Runde beide Zahlen grob und rechne im Kopf. Das Ergebnis muss in derselben Größenordnung liegen. Beim Runden auf Hunderter entscheidet die Zehnerziffer: 0 bis 4 abrunden, 5 bis 9 aufrunden.

Der Überschlag findet keine kleinen Rechenfehler, aber genau die großen: eine vergessene Null, ein falsch versetztes Teilprodukt, ein verrutschtes Komma.

2. Die Probe – nachher. Rechne die Umkehraufgabe:

Die Probe findet auch kleine Fehler – kostet aber Zeit. Mach den Überschlag immer, die Probe bei allem, was zählt.

Im Alltag steht nicht dabei, ob addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert werden muss. Diese Signalwörter helfen:

Verlass dich aber nicht blind darauf – lies die Aufgabe und überlege, was tatsächlich passiert.